מחולל תרגילים

חקירת פונקציה רציונלית: דף עבודה לכיתה י׳ 5 יח״ל

עם דף תשובות בדוק · חינם · מוכן להדפסה. כל לחיצה על „צרו דף חדש” מייצרת תרגילים אחרים, ואפשר לבחור רמה, סוגי תרגילים וכמה גרסאות.

צרו דף חדש בנושא

מה יש בדף

  • תחום הגדרה: מכנה לינארי ומפורק, מכנה בלי שורשים, סכום שברים, פונקציות זהות, מכנה ממעלה 3–4, תחום וחיתוך עם ציר x, רשמו פונקציה
  • נגזרת: כלל המנה, פולינום ועוד c/x, ערך הנגזרת בנקודה, מונה ומכנה ריבועיים, מצאו את הטעות, חזקה של מנה, מנה של חזקות, הראו ש…
  • שיפוע משיק ומשוואת משיק: שיפוע ומשוואת משיק בנקודה, משיק בחיתוך עם ציר, משיקים מקבילים לישר, פרמטר משיפוע נתון, האם יש משיק, ישר עם פרמטר משיק לגרף, שני פרמטרים, הבעה באמצעות פרמטר
  • מציאת נקודות קיצון: קיצון וסוגו לפי טבלת סימנים, הנגזרת נתונה, הראו שאין קיצון, מנה מורכבת, פרמטר מנקודת קיצון, מצאו את הטעות, שני פרמטרים, הבעה באמצעות פרמטר, נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ואינן קיצון
  • תחומי עלייה וירידה: תחומי עלייה וירידה (כל נקודה שמחוץ לתחום מפצלת קטע), הוכיחו שעולה / יורדת, עולה או יורדת בנקודה, מנה מורכבת, נקודה שאינה קיצון, מצאו את הטעות, פרמטר, הבעה באמצעות פרמטר, g′ = f
  • מציאת אסימפטוטות אנכיות ונקודות חור: אסימפטוטה אנכית, התנהגות משמאל ומימין לה, נכון / לא נכון, תחום אסימפטוטות וחורים, שיעורי החור, מצאו את הטעות, מכנה ממעלה 3–4, גורם בריבוי וחור על ציר x, רשמו פונקציה
  • מציאת אסימפטוטה אופקית: יחס המקדמים המובילים, מספר ועוד שבר, נכון / לא נכון, סדר לא יורד ומכפלות, חיתוך הגרף עם האסימפטוטה, מצאו את הטעות, חזקות, סכום שברים, פונקציה קשורה
  • מציאת אסימפטוטות המאונכות לצירים: אסימפטוטות אנכיות ואופקית יחד, מספר ועוד שבר, נכון / לא נכון, אסימפטוטות וחורים, אסימפטוטות וחיתוך עם הצירים, מצאו את הטעות, מכנה ממעלה 3, חיתוך עם האסימפטוטה האופקית, רשמו פונקציה
  • מציאת פרמטרים על ידי אסימפטוטות ותחום הגדרה: פרמטר מאסימפטוטה אנכית, מאסימפטוטה אופקית ומתחום ההגדרה, שני פרמטרים, פרמטר ואז האסימפטוטות, חור במקום אסימפטוטה, הבעה באמצעות פרמטר, אסימפטוטה ותנאי נגזרת, פונקציה קשורה
  • חקירה מלאה: תחום, קיצון, עלייה וירידה, חיתוך עם הצירים, אסימפטוטות, סקיצה; נקודה שאינה קיצון, חור
  • חקירה עם מציאת פרמטרים: פרמטר מנקודת קיצון, מנקודה על הגרף, מאסימפטוטות או משיפוע משיק; מספר נקודות הקיצון; חקירה, סקיצה וסעיפי חשיבה
  • חקירה עם הבעה באמצעות פרמטר: כל התשובות באמצעות a: a במכנה, במונה או בשניהם, סימן a קובע את סוג הקיצון; סקיצה עם תוויות באמצעות a
  • הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת: סימן f′ מהעלייה והירידה, בחירת גרף f′ מתוך I–IV, g′ = f, f′ נתונה, g = f′, שיפוע משיק מקסימלי ומינימלי
  • הזזות ומתיחות: f + c, f(x − d), −f, k·f, |f|, מציאת c או k מתנאי — בלי לחקור את g מחדש

דף לדוגמה (רמה בינונית)

שם: כיתה: תאריך:

חקירת פונקציה רציונלית — דף עבודה

כיתה י׳ 5 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: תחום הגדרה

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציות (לפני צמצום) וענו על השאלות.

  1. א.
    y = x − 4x2 + 9x + 14
  2. ב.
    y = 2x + 2 + 6x

שאלה 2: נגזרת של פונקציה רציונלית

גזרו את הפונקציות וענו על השאלות.

  1. א.
    f(x) = −x22x + 6
  2. ב.
    ליאן גזרה את y = 3x + 5x + 5 כך: y' = 1 · (3x + 5) − 3(x + 5)(x + 5)2. מה הטעות?

שאלה 3: שיפוע משיק ומשוואת משיק

שיפוע המשיק בנקודה x₀ הוא f′(x₀). רשמו כל משוואת משיק בצורה y = mx + b.

  1. א.
    מצאו את משוואות המשיקים לגרף y = −2x2 + 11x − 14x − 4 המקבילים לציר x
  2. ב.
    f(x) = x + kx. שיפוע המשיק לגרף בנקודה x = 1 הוא −4. א. מצאו את k. ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה זו.

שאלה 4: מציאת נקודות קיצון

מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן לפי סימן הנגזרת משני צדי כל נקודה (נקודה שמחוץ לתחום ההגדרה אינה נקודת קיצון).

  1. א.
    y = −x2 + x + 2x − 3
  2. ב.
    לפונקציה f(x) = 3x + ax + 1 יש נקודת קיצון ב־x = −5. א. מצאו את a. ב. מצאו את כל נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

שאלה 5: תחומי עלייה וירידה

מצאו את תחומי העלייה והירידה לפי סימן הנגזרת. כל נקודה שמחוץ לתחום ההגדרה מפצלת קטע.

  1. א.
    f(x) = −2x2 + 2x − 18x2 + 9
  2. ב.
    f(x) = −(x + 4)3x2 + 4. מצאו את תחומי העלייה והירידה (שימו לב לנקודה שבה f'(x) = 0 ואינה נקודת קיצון).

שאלה 6: אסימפטוטות אנכיות ונקודות חור

מצאו את האסימפטוטות האנכיות ואת נקודות החור וענו על השאלות (צמצמו את השבר).

  1. א.
    f(x) = −x2 − 2x + 8x2 + 3x − 10. מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות האנכיות ואת נקודות החור
  2. ב.
    מצאו את שיעורי נקודת החור בגרף y = 4x2 − 16x + 2. האם יש לגרף אסימפטוטה אנכית?

שאלה 7: אסימפטוטה אופקית

מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציות (או „אין אסימפטוטה אופקית”) וענו על השאלות.

  1. א.
    y = −9 + 5x + 8x22x2 + 3x
  2. ב.
    מצאו את האסימפטוטה האופקית של y = 3x2 + 6x − 12x2 + 5x. האם הגרף חותך אותה? אם כן — באיזו נקודה?

שאלה 8: אסימפטוטות המקבילות לצירים

מצאו את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציות וענו על השאלות.

  1. א.
    f(x) = x2 + 5x − 6x3 + 5x2 − 6x. מצאו את האסימפטוטות המקבילות לצירים ואת נקודות החור
  2. ב.
    f(x) = 3x − 15x + 6. מצאו את האסימפטוטות ואת נקודות החיתוך עם הצירים

שאלה 9: מציאת פרמטרים על ידי אסימפטוטות ותחום הגדרה

רשמו את התנאי כמשוואה בפרמטר ופתרו. בדקו שהערך שמצאתם אינו יוצר נקודת חור.

  1. א.
    לגרף y = ax2 − 8x2 + bx + 1 יש אסימפטוטה אנכית אחת, x = 1, ואסימפטוטה אופקית y = 2. מצאו את a ואת b
  2. ב.
    הישר x = −3 הוא אסימפטוטה אנכית של f(x) = −6x − 4mx + 6. א. מצאו את m. ב. מצאו את כל האסימפטוטות המקבילות לצירים

שאלה 10: חקירה מלאה של פונקציה רציונלית

ענו על השאלות.

  1. א.
    נתונה הפונקציה f(x) = x2 − 3x + 11x − 1. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. מצאו: (1) תחום הגדרה (2) נקודות הקיצון וסוגן (3) תחומי עלייה וירידה (4) נקודות החיתוך עם הצירים (5) אסימפטוטות המקבילות לצירים
    2. ב. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
  2. ב.
    נתונה הפונקציה f(x) = 2x2 + x + 2x2 + 2x + 4. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. מצאו: (1) תחום הגדרה (2) נקודות הקיצון וסוגן (3) תחומי עלייה וירידה (4) נקודות החיתוך עם הצירים (5) אסימפטוטות המקבילות לצירים
    2. ב. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה

שאלה 11: חקירת פונקציה רציונלית עם מציאת פרמטרים

ענו על השאלות.

  1. א.
    נתונה הפונקציה f(x) = x2 + ax + 1. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. לפונקציה יש נקודת קיצון ב־x = 3. מצאו את a
    2. ב. מצאו: (1) תחום הגדרה (2) נקודות הקיצון וסוגן (3) תחומי עלייה וירידה (4) נקודות החיתוך עם הצירים (5) אסימפטוטות המקבילות לצירים
    3. ג. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
    4. ד. שרטטו סקיצה אפשרית של גרף הנגזרת f′(x): ציינו את נקודות החיתוך שלו עם ציר x ואת האסימפטוטות שלו
    5. ה. מצאו את תחומי ה־x שבהם f(x) · f′(x) < 0
  2. ב.
    נתונה הפונקציה f(x) = ax2x2 − 4x + b. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. לגרף הפונקציה אסימפטוטה אנכית אחת, x = 2, ואסימפטוטה אופקית y = −3. מצאו את a ואת b
    2. ב. מצאו: (1) תחום הגדרה (2) נקודות הקיצון וסוגן (3) תחומי עלייה וירידה (4) נקודות החיתוך עם הצירים (5) אסימפטוטות המקבילות לצירים
    3. ג. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
    4. ד. לאילו ערכים של k יש למשוואה f(x) = k שני פתרונות בדיוק?
    5. ה. מצאו את משוואות המשיקים לגרף f המקבילים לישר y = 6x

שאלה 12: חקירת פונקציה רציונלית עם הבעה באמצעות פרמטרים

ענו על השאלות.

  1. א.
    נתונה הפונקציה f(x) = x2x + 2a, כאשר a > 0 הוא פרמטר. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. הביעו באמצעות a: (1) תחום הגדרה (2) נקודות הקיצון וסוגן (3) תחומי עלייה וירידה (4) נקודות החיתוך עם הצירים (5) אסימפטוטות המקבילות לצירים
    2. ב. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
    3. ג. נתונה g(x) = 12f(x). מצאו את נקודות הקיצון של g וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות a)
  2. ב.
    נתונה הפונקציה f(x) = x2 − a2x2, כאשר a > 0 הוא פרמטר. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. הביעו באמצעות a: (1) תחום הגדרה (2) נקודות הקיצון וסוגן (3) תחומי עלייה וירידה (4) נקודות החיתוך עם הצירים (5) אסימפטוטות המקבילות לצירים
    2. ב. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
    3. ג. מצאו את התחומים שבהם f′(x) > 0 ואת התחומים שבהם f′(x) < 0 (הביעו באמצעות a)

שאלה 13: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

ענו על השאלות.

  1. א.
    נתונה הפונקציה f(x) = −x + 5x + 3. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. מצאו: (1) תחום הגדרה (2) נקודות הקיצון וסוגן (3) תחומי עלייה וירידה (4) נקודות החיתוך עם הצירים (5) אסימפטוטות המקבילות לצירים
    2. ב. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
    3. ג. מצאו את התחומים שבהם f′(x) > 0 ואת התחומים שבהם f′(x) < 0
    4. ד. איזה מהגרפים I–IV מתאים לגרף הנגזרת f′(x)?
      xyx = −3y = 1
      גרף I
      xyx = −3y = 0
      גרף II
      xyx = −3y = 0
      גרף III
      xyx = −3y = −1
      גרף IV
    5. ה. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה |f(x)| וקבעו את סוגן
  2. ב.
    נתונה הפונקציה f(x) = 2x + 2x + 3. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. הפונקציה g מוגדרת בתחום x > −3, ו־g′(x) = f(x). מצאו את תחומי העלייה והירידה של g ואת שיעור ה־x של נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה
    2. ב. בתחום x > −3: לאילו ערכי x גם f וגם g עולות?
    3. ג. פתרו את אי־השוויון f(x) < −4

שאלה 14: הזזות ומתיחות בפונקציות רציונליות

ענו על השאלות.

  1. א.
    נתונה הפונקציה f(x) = 2xx2 + 1. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. מצאו: (1) תחום הגדרה (2) נקודות הקיצון וסוגן (3) תחומי עלייה וירידה (4) נקודות החיתוך עם הצירים (5) אסימפטוטות המקבילות לצירים
    2. ב. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
    3. ג. נתונות g(x) = 2f(x) ו־h(x) = f(x − 1). מצאו את נקודות הקיצון של g ושל h
    4. ד. לאילו ערכים של k אין למשוואה f(x) = k פתרון?
    5. ה. פתרו את אי־השוויון f(x) < 0
  2. ב.
    נתונה הפונקציה f(x) = 6xx2 + 1. ענו על הסעיפים הבאים:
    1. א. מצאו: (1) תחום הגדרה (2) נקודות הקיצון וסוגן (3) תחומי עלייה וירידה (4) נקודות החיתוך עם הצירים (5) אסימפטוטות המקבילות לצירים
    2. ב. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
    3. ג. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה |f(x)| וקבעו את סוגן
    4. ד. לאילו ערכים של k יש לישר y = k נקודה משותפת אחת בדיוק עם גרף הפונקציה?
    5. ה. מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלו עם ציר y

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: math-generator-a6o.pages.dev

דף תשובות

חקירת פונקציה רציונלית · כיתה י׳ 5 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: תחום הגדרה

  1. א.
    x ≠ −7, x ≠ −2
  2. ב.
    x ≠ −2, x ≠ 0

שאלה 2: נגזרת של פונקציה רציונלית

  1. א.
    f'(x) = −2x2 − 12x(2x + 6)2
  2. ב.
    המונה בסדר הפוך: u′v − uv′v2. נכון: y' = 10(x + 5)2

שאלה 3: שיפוע משיק ומשוואת משיק

  1. א.
    ב־(3;−1): y = −1; ב־(5;−9): y = −9
  2. ב.
    א. k = 5 ב. y = −4x + 10

שאלה 4: מציאת נקודות קיצון

  1. א.
    (1;−1) מינימום, (5;−9) מקסימום
  2. ב.
    א. a = 48 ב. (−5;−27) מקסימום, (3;21) מינימום

שאלה 5: תחומי עלייה וירידה

  1. א.
    עלייה: −3 < x < 3; ירידה: x < −3 או x > 3
  2. ב.
    עלייה: 2 < x < 6; ירידה: x < 2 או x > 6

שאלה 6: אסימפטוטות אנכיות ונקודות חור

  1. א.
    x ≠ −5, x ≠ 2; אסימפטוטה x = −5; חור (2;−67)
  2. ב.
    חור (−2;−16); אין אסימפטוטה אנכית

שאלה 7: אסימפטוטה אופקית

  1. א.
    y = 4
  2. ב.
    y = 3; כן, ב־(−43;3)

שאלה 8: אסימפטוטות המקבילות לצירים

  1. א.
    x = 0, y = 0; חור (−6;−16), חור (1;1)
  2. ב.
    x = −6, y = 3; (5;0), (0;−52)

שאלה 9: מציאת פרמטרים על ידי אסימפטוטות ותחום הגדרה

  1. א.
    a = 2, b = −2
  2. ב.
    א. m = 2 ב. x = −3, y = −3

שאלה 10: חקירה מלאה של פונקציה רציונלית

  1. א.
    א. (1) x ≠ 1 (2) (−2;−7) מקסימום, (4;5) מינימום (3) עלייה: x < −2 או x > 4; ירידה: −2 < x < 1 או 1 < x < 4 (4) (0;−11), אין חיתוך עם ציר x (5) x = 1, אין אסימפטוטה אופקית
    ב. סקיצה:
    xyx = 1(−2;−7)(0;−11)(4;5)
  2. ב.
    א. (1) כל x (2) (−4;52) מקסימום, (0;12) מינימום (3) עלייה: x < −4 או x > 0; ירידה: −4 < x < 0 (4) (0;12), אין חיתוך עם ציר x (5) אין אסימפטוטה אנכית, y = 2
    ב. סקיצה:
    xyy = 2(−4;5/2)(0;1/2)

שאלה 11: חקירת פונקציה רציונלית עם מציאת פרמטרים

  1. א.
    א. a = 15
    ב. (1) x ≠ −1 (2) (−5;−10) מקסימום, (3;6) מינימום (3) עלייה: x < −5 או x > 3; ירידה: −5 < x < −1 או −1 < x < 3 (4) (0;15), אין חיתוך עם ציר x (5) x = −1, אין אסימפטוטה אופקית
    ג. סקיצה:
    xyx = −1(−5;−10)(0;15)(3;6)

    ד. (−5;0), (3;0); x = −1, y = 1
    xyx = −1y = 1(−5;0)(3;0)

    ה. x < −5 או −1 < x < 3
  2. ב.
    א. a = −3, b = 4
    ב. (1) x ≠ 2 (2) (0;0) מקסימום (3) עלייה: x < 0 או x > 2; ירידה: 0 < x < 2 (4) (0;0) (5) x = 2, y = −3
    ג. סקיצה:
    xyx = 2y = −3(0;0)

    ד. k < −3 או −3 < k < 0
    ה. y = 6x − 36

שאלה 12: חקירת פונקציה רציונלית עם הבעה באמצעות פרמטרים

  1. א.
    א. (1) x ≠ −2a (2) (−4a;−8a) מקסימום, (0;0) מינימום (3) עלייה: x < −4a או x > 0; ירידה: −4a < x < −2a או −2a < x < 0 (4) (0;0) (5) x = −2a, אין אסימפטוטה אופקית
    ב. סקיצה:
    xyx = −2(−4a;−8a)(0;0)

    ג. (−4a;−4a) מקסימום, (0;0) מינימום
  2. ב.
    א. (1) x ≠ 0 (2) אין (3) עלייה: x > 0; ירידה: x < 0 (4) (−a;0), (a;0), אין חיתוך עם ציר y (5) x = 0, y = 1
    ב. סקיצה:
    xyx = 0y = 1(−a;0)(a;0)

    ג. f′(x) > 0: x > 0; f′(x) < 0: x < 0

שאלה 13: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

  1. א.
    א. (1) x ≠ −3 (2) אין (3) עלייה: אין; ירידה: x < −3 או x > −3 (4) (5;0), (0;53) (5) x = −3, y = −1
    ב. סקיצה:
    xyx = −3y = −1(0;5/3)(5;0)

    ג. f′(x) > 0: אין; f′(x) < 0: x < −3 או x > −3
    ד. גרף III
    ה. (5;0) מינימום
  2. ב.
    א. עלייה: x > −1; ירידה: −3 < x < −1; x = −1 מינימום
    ב. x > −1
    ג. −3 < x < −73

שאלה 14: הזזות ומתיחות בפונקציות רציונליות

  1. א.
    א. (1) כל x (2) (−1;−1) מינימום, (1;1) מקסימום (3) עלייה: −1 < x < 1; ירידה: x < −1 או x > 1 (4) (0;0) (5) אין אסימפטוטה אנכית, y = 0
    ב. סקיצה:
    xyy = 0(−1;−1)(0;0)(1;1)

    ג. g: (−1;−2) מינימום, (1;2) מקסימום; h: (0;−1) מינימום, (2;1) מקסימום
    ד. k < −1 או k > 1
    ה. x < 0
  2. ב.
    א. (1) כל x (2) (−1;−3) מינימום, (1;3) מקסימום (3) עלייה: −1 < x < 1; ירידה: x < −1 או x > 1 (4) (0;0) (5) אין אסימפטוטה אנכית, y = 0
    ב. סקיצה:
    xyy = 0(−1;−3)(0;0)(1;3)

    ג. (−1;3) מקסימום, (0;0) מינימום, (1;3) מקסימום
    ד. k = −3 או k = 0 או k = 3
    ה. y = 6x

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: math-generator-a6o.pages.dev

צרו דף חדש בנושא

שאלות נפוצות

האם הדף חינמי?

כן. אפשר ליצור ולהדפיס דפים בלי הגבלה ובלי הרשמה.

יש דף תשובות?

כן. לכל דף יש דף תשובות, וכל תשובה נבדקת אוטומטית בבודק עצמאי (SymPy) לפני שהגרסה עולה לאתר.

האם התרגילים לפי תוכנית הלימודים?

כן. סוגי התרגילים, טווחי המספרים והרמות נבנו לפי תוכנית הלימודים של משרד החינוך לכיתה י׳ 5 יח״ל.

אפשר לקבל כמה גרסאות של אותו דף?

כן. במחולל בוחרים „א׳ + ב׳” או „לפי רמות”, ומקבלים דפים מקבילים, כל אחד עם דף תשובות.