מחולל תרגילים

פונקציות שורש: דף עבודה לכיתה י׳ 5 יח״ל

עם דף תשובות בדוק · חינם · מוכן להדפסה. כל לחיצה על „צרו דף חדש” מייצרת תרגילים אחרים, ואפשר לבחור רמה, סוגי תרגילים וכמה גרסאות.

צרו דף חדש בנושא

מה יש בדף

  • תחום הגדרה פונקציות שורש: שורש של לינארי, שורש במכנה, שורש של ריבועי, סכום שורשים, פונקציות זהות?, ממעלה 3–4, מנה עם שורש, רשמו פונקציה
  • משוואות עם שורשים: שורש = מספר, אין פתרון, שורש של ריבועי, שורש = לינארי (פתרון זר), הצבה t = √x, שבר עם שורש, שני שורשים, שלושה שורשים, מצאו את הטעות / נכון או לא נכון
  • נגזרת: k√x וצירופים, k/√x, ערך הנגזרת, שורש של לינארי, שורש של פולינום, מצאו את הטעות, 1/√u, צירופים, הראו ש… / x מנגזרת נתונה
  • משיק לפונקציה (בלי ועם פרמטר): שיפוע, משוואת משיק, משיק בחיתוך עם ציר, שיפוע נתון / מקביל, פרמטר משיפוע, משולש עם הצירים, ישר עם פרמטר משיק, שני פרמטרים, הבעה באמצעות t / נקודה חיצונית
  • נגזרת מכפלה ושורש: xⁿ√x, (ax + b)√x, ערך הנגזרת, x√(ax + b), xⁿ√(…), מצאו את הטעות, מכפלה של שני ביטויים, y′ = 0, משיק / הראו ש…
  • נקודות קיצון פנימיות (בלי ועם פרמטר): √(ריבועי), ax + b√x, √(c − x²), צירוף עם שורש, √(ממעלה 3), פרמטר אחד, שני פרמטרים, הבעה באמצעות פרמטר, הראו / נמקו
  • תחומי עלייה וירידה: ax + b√x, √(ריבועי), תחום חסום, שני חלקים, x ± k√(…), תחום + קיצון + עלייה וירידה, מכפלה, פרמטר, הוכחה / נכון או לא נכון
  • חקירה מלאה — ללא פרמטרים: a√x − bx, √(−ריבועי), x − k√(x + a), (x − a)√x, x + k√(c − x), √(ריבועי) בשני חלקים, מכפלה עם x² / (x + a), √(ממעלה 3), c/x + k√x
  • חקירה מלאה — עם פרמטרים (כולל מציאת פרמטר): פרמטר מנקודת קיצון / מחיתוך / משיפוע, ואז חקירה; בבינוני ובקשה גם סעיפי חשיבה (y = k, פונקציה קשורה, f ו־f′, חסמים, זוגיות)
  • בעיות קיצון מספריות: מספר ושורשו, סכום קבוע ← סכום שורשים, סכום משוקלל, סכום ריבועים ← מכפלה או סכום משוקלל, x√(c − x), פרמטר, תחום סגור והוכחה
  • בעיות קיצון גיאומטריות: מלבן עם אלכסון נתון ← שטח או היקף מקסימלי, משולש שווה־שוקיים, מסלול בשתי מהירויות (גם מציל), סכום מרחקים, גופים נעים, פרמטר, קטע במשולש, תחום סגור
  • בעיות קיצון גרפיות: מלבן עם הצירים מתחת לגרף שורש, קטע אנכי בין גרף לישר, סכום שיעורים, מלבן עם ישר, משיק עם t, נקודה קרובה ביותר, מלבן בין שני גרפים, פרמטר מהמרחק, תחום סגור

דף לדוגמה (רמה בינונית)

שם: כיתה: תאריך:

פונקציות שורש — דף עבודה

כיתה י׳ 5 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: תחום הגדרה של פונקציות שורש

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציות וענו על השאלות.

  1. א.
    y = √−x2 + 9x − 14
  2. ב.
    f(x) = √x + 4 + √2x − 2

שאלה 2: משוואות עם שורשים

פתרו את המשוואות (בדקו את הפתרונות) וענו על השאלות.

  1. א.
    x + √x + 7 = 13
  2. ב.
    2x√x = 16

שאלה 3: נגזרת של פונקציות שורש

גזרו את הפונקציות וענו על השאלות.

  1. א.
    f(x) = √4x − 9
  2. ב.
    f(x) = √x3 + 2x2 + x + 2

שאלה 4: משיק לגרף פונקציית שורש

ענו על השאלות.

  1. א.
    מצאו את הנקודה על גרף y = 9√x שבה שיפוע המשיק הוא 914, ואת משוואת המשיק בה
  2. ב.
    y = √x + a. שיפוע המשיק בנקודה x = 2 הוא 14. א. מצאו את a. ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה זו

שאלה 5: נגזרת של מכפלה עם שורש

גזרו את הפונקציות (רשמו את הנגזרת כשבר אחד) וענו על השאלות.

  1. א.
    y = 2x√−x − 3
  2. ב.
    y = x√16 − x2

שאלה 6: נקודות קיצון פנימיות

מצאו את נקודות הקיצון הפנימיות (בתוך תחום ההגדרה) וקבעו את סוגן; ענו על השאלות.

  1. א.
    f(x) = x − 6√x + 5
  2. ב.
    f(x) = √x3 + 6x2 + 49

שאלה 7: תחומי עלייה וירידה

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציות וענו על השאלות.

  1. א.
    f(x) = √x2 − 11x + 30
  2. ב.
    y = x − 4√x − 6

שאלה 8: חקירה מלאה של פונקציית שורש

חקרו את הפונקציות לפי הסעיפים.

  1. א.
    נתונה הפונקציה f(x) = (x − 3)√x.
    1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
      1. 1. תחום הגדרה
      2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
      3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
      4. 4. תחומי עלייה וירידה
      5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
  2. ב.
    נתונה הפונקציה f(x) = 2x + 6√4 − x.
    1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
      1. 1. תחום הגדרה
      2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
      3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
      4. 4. תחומי עלייה וירידה
      5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה

שאלה 9: חקירה מלאה עם פרמטרים

ענו על הסעיפים.

  1. א.
    נתונה הפונקציה f(x) = a√x − x, ולה נקודת קיצון ב־x = 9.
    1. א. מצאו את a.
    2. ב. הציבו את a שמצאתם וענו על הסעיפים הבאים:
      1. 1. תחום הגדרה
      2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
      3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
      4. 4. תחומי עלייה וירידה
      5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
    3. ג. מצאו את התחומים שבהם f(x) > 0 ואת התחומים שבהם f(x) < 0
    4. ד. לפונקציה g מתקיים g′(x) = f(x). האם g עולה או יורדת ב־x = 6? נמקו
  2. ב.
    נתונה הפונקציה f(x) = 2√ax − x, כאשר a > 0 הוא פרמטר. בכל הסעיפים הביעו את התשובות באמצעות a.
    1. א. ענו על הסעיפים הבאים:
      1. 1. תחום הגדרה
      2. 2. נקודות החיתוך עם הצירים
      3. 3. נקודות הקיצון וסוגן
      4. 4. תחומי עלייה וירידה
      5. 5. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה
    2. ב. מצאו את התחומים שבהם f(x) > 0 ואת התחומים שבהם f(x) < 0

שאלה 10: בעיות קיצון מספריות

סמנו משתנה, הביעו את הגודל שמחפשים כפונקציה שלו, גזרו, ובדקו לפי סימן הנגזרת שהנקודה היא אכן מינימום / מקסימום (ובתחום סגור — גם את הקצוות).

  1. א.
    סכום הריבועים של שני מספרים חיוביים הוא 72. נסמן ב־x את המספר הראשון. א. הביעו באמצעות x את המספר השני. ב. מה צריכים להיות המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית? מהי המכפלה?
  2. ב.
    x ו־y מספרים חיוביים, ו־x2 + y2 = 117. מצאו אותם כך ש־2x + 3y יהיה מקסימלי, ואת הערך המקסימלי

שאלה 11: בעיות קיצון גיאומטריות

הביעו את הגודל המבוקש כפונקציה של משתנה אחד (בעזרת משפט פיתגורס), גזרו ובדקו את סוג הנקודה לפי סימן הנגזרת. הסרטוט מראה מצב כללי, לא את המצב המבוקש.

  1. א.
    בית A נמצא במרחק 3 ק״מ מכביש ישר, ו־C רגל האנך מ־A לכביש. הנקודה B על הכביש נמצאת 16 ק״מ מ־C. אדם הולך מ־A בשדה במהירות 4 קמ״ש עד נקודה P על הכביש בין C ל־B (CP = x), ומשם בכביש במהירות 5 קמ״ש עד B. מה צריך להיות x כדי שזמן ההליכה יהיה הקצר ביותר? מהו הזמן?
    ACPB3x
  2. ב.
    שני כפרים, C ו־D, נמצאים מאותו צד של כביש ישר: C במרחק 7 ק״מ מהכביש ו־D במרחק 2 ק״מ ממנו. A ו־B רגלי האנכים מהכפרים לכביש, ו־AB = 12 ק״מ. על הכביש בין A ל־B בונים תחנה P (AP = x), וממנה סוללים דרכים ישרות לשני הכפרים. מה צריך להיות x כדי שסכום אורכי הדרכים PC + PD יהיה מינימלי? מהו הסכום?
    ABCDP72x

שאלה 12: בעיות קיצון גרפיות

הביעו את הגודל המבוקש כפונקציה של משתנה אחד, גזרו ובדקו את סוג הנקודה לפי סימן הנגזרת. הסרטוט מראה מצב כללי, לא את המצב המבוקש.

  1. א.
    הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה y = 9√x. הישר x = 3 חותך את ציר x בנקודה D. מ־A מורידים אנכים לציר x (C) ולישר x = 3 (B), ונוצר המלבן ABDC. מה צריכים להיות שיעורי A כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? מהו השטח?
    xyACBD
  2. ב.
    לגרף הפונקציה y = 12√x מעבירים משיק בנקודה A(t;12√t), t > 0. המשיק חותך את ציר y בנקודה B ואת ציר x בנקודה C. א. הביעו באמצעות t את משוואת המשיק ואת שיעורי B ו־C. ב. מצאו את t שעבורו ההפרש OB − OC מקסימלי (O — ראשית הצירים), ואת ההפרש.
    xyABC

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: math-generator-a6o.pages.dev

דף תשובות

פונקציות שורש · כיתה י׳ 5 יח״ל · רמה: בינוני

שאלה 1: תחום הגדרה של פונקציות שורש

  1. א.
    2 ≤ x ≤ 7
  2. ב.
    x ≥ 1

שאלה 2: משוואות עם שורשים

  1. א.
    x = 9 (x = 18 פתרון זר)
  2. ב.
    x = 4

שאלה 3: נגזרת של פונקציות שורש

  1. א.
    f'(x) = 2√4x − 9
  2. ב.
    f'(x) = 3x2 + 4x + 12√x3 + 2x2 + x + 2

שאלה 4: משיק לגרף פונקציית שורש

  1. א.
    (49;63); y = 9x14 + 632
  2. ב.
    א. a = 2 ב. y = x4 + 32

שאלה 5: נגזרת של מכפלה עם שורש

  1. א.
    y' = −3x + 6√−x − 3
  2. ב.
    y' = 16 − 2x2√16 − x2

שאלה 6: נקודות קיצון פנימיות

  1. א.
    (4;−14) מינימום
  2. ב.
    (−4;9) מקסימום, (0;7) מינימום

שאלה 7: תחומי עלייה וירידה

  1. א.
    עלייה: x > 6; ירידה: x < 5
  2. ב.
    עלייה: x > 10; ירידה: 6 < x < 10

שאלה 8: חקירה מלאה של פונקציית שורש

  1. א.
    א. 1. x ≥ 0
    2. (0;0), (3;0)
    3. (0;0) מקסימום בקצה, (1;−2) מינימום
    4. עלייה: x > 1; ירידה: 0 < x < 1
    5. סקיצה:
    xy(0;0)(1;−2)(3;0)
  2. ב.
    א. 1. x ≤ 4
    2. (−12;0), (0;12)
    3. (74;252) מקסימום, (4;8) מינימום בקצה
    4. עלייה: x < 74; ירידה: 74 < x < 4
    5. סקיצה:
    xy(−12;0)(0;12)(7/4;25/2)(4;8)

שאלה 9: חקירה מלאה עם פרמטרים

  1. א.
    א. a = 6
    ב. 1. x ≥ 0
    2. (0;0), (36;0)
    3. (0;0) מינימום בקצה, (9;9) מקסימום
    4. עלייה: 0 < x < 9; ירידה: x > 9
    5. סקיצה:
    xy(0;0)(9;9)(36;0)

    ג. f(x) > 0: 0 < x < 36; f(x) < 0: x > 36
    ד. עולה: g′(6) = f(6) > 0
  2. ב.
    א. 1. x ≥ 0
    2. (0;0), (4a;0)
    3. (0;0) מינימום בקצה, (a;a) מקסימום
    4. עלייה: 0 < x < a; ירידה: x > a
    5. סקיצה:
    xy(0;0)(a;a)(4a;0)

    ב. f(x) > 0: 0 < x < 4a; f(x) < 0: x > 4a

שאלה 10: בעיות קיצון מספריות

  1. א.
    א. √72 − x2 ב. 6 ו־6; המכפלה 36
  2. ב.
    x = 6, y = 9; 2x + 3y = 39

שאלה 11: בעיות קיצון גיאומטריות

  1. א.
    x = 4 ק״מ; הזמן 7320 שעות
  2. ב.
    x = 283 ק״מ; PC + PD = 15 ק״מ

שאלה 12: בעיות קיצון גרפיות

  1. א.
    A(1;9); שטח 18
  2. ב.
    א. y = 6√tx + 6√t; B(0;6√t), C(−t;0) ב. t = 9, ההפרש 9

דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: math-generator-a6o.pages.dev

צרו דף חדש בנושא

שאלות נפוצות

האם הדף חינמי?

כן. אפשר ליצור ולהדפיס דפים בלי הגבלה ובלי הרשמה.

יש דף תשובות?

כן. לכל דף יש דף תשובות, וכל תשובה נבדקת אוטומטית בבודק עצמאי (SymPy) לפני שהגרסה עולה לאתר.

האם התרגילים לפי תוכנית הלימודים?

כן. סוגי התרגילים, טווחי המספרים והרמות נבנו לפי תוכנית הלימודים של משרד החינוך לכיתה י׳ 5 יח״ל.

אפשר לקבל כמה גרסאות של אותו דף?

כן. במחולל בוחרים „א׳ + ב׳” או „לפי רמות”, ומקבלים דפים מקבילים, כל אחד עם דף תשובות.