מחולל תרגילי מתמטיקהגאומטריה: דף עבודה לכיתה י׳ 5 יח״ל
עם דף תשובות בדוק · חינם · מוכן להדפסה. כל לחיצה על „צרו דף חדש” מייצרת תרגילים אחרים, ואפשר לבחור רמה, סוגי תרגילים וכמה גרסאות.
מה יש בדף
- יחסי שטחים: חישובים: שטחים, צלעות ויחסים ממשולשים דומים: מקביל לצלע, פרפר, זווית משותפת, צ.ז.צ., גבהים, טרפז, מלבן וריבוע חסומים
- יחסי שטחים: הוכחה וחישוב: הוכחת דמיון ואחריה שטח או צלע; מכפלות של קטעים; שברי שטח במשולש ובמקבילית
- משפט חוצה הזווית: יחס הקטעים שחוצה זווית מקצה על הצלע שמולה: אורכים, תיכון, גובה, שטחים, מקבילים והוכחות
- המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית: הוכחה שקטע הוא חוצה זווית מיחס הקטעים: אורכים, פיתגורס, שני משולשים, תאלס ומקבילית
- נקודת מפגש התיכונים: היחס 2:1 על תיכון, התיכון השלישי, תיכונים מאונכים, משולש ישר זווית ושווה שוקיים, מקבילית ומעוין עם נקודת מפגש התיכונים
- מעגל: הגדרות בסיסיות: רדיוסים שווים וקוטר: זוויות במשולשי רדיוסים, חפיפה, מקבילים, נקודה על המשך מיתר
- זווית מרכזית, קשתות ומיתרים: קשתות וזוויות מרכזיות, מיתרים שווים, מיתרים מקבילים, דלתון חסום
- האנך ממרכז המעגל למיתר: רדיוס, מיתר ומרחק; אמצע מיתר; מלבן ומעוין; משולש חסום וקטע אמצעים; קוטר מאונך למיתר
- מיתרים שווים ומרחקם מהמרכז: מיתרים שווים במרחקים שווים, מיתרים נחתכים, חותכים מנקודה חיצונית, משולש שווה צלעות חסום
- זוויות היקפיות: זווית היקפית ומרכזית, היקפיות על אותו מיתר, קשתות ומיתרים שווים, זווית על קוטר והוכחה שמיתר הוא קוטר; מלבן, גבהים וחוצי זוויות במשולש חסום
- פרופורציות במעגל: מיתרים נחתכים, שני חותכים, משיק וחותך: אורכים, רדיוס, שני מעגלים, תיכון וחוצה זווית שנמשכים עד המעגל
- מעגל, תרגילים מסכמים: כל פרק המעגל: מיתרים וקטרים, זוויות היקפיות, משיקים, מרובע חסום, שני מעגלים, דמיון, מכפלות ושטחים במעגל
- מעגל חוסם משולש: מרכז המעגל החוסם: רדיוסים שווים, זווית מרכזית והיקפית, אנכים אמצעיים, אמצע היתר במשולש ישר זווית
- מעגל חסום במשולש: מרכז המעגל החסום: חוצי זוויות, קטעי משיקים, היקף, משולש ישר זווית, אמצע הקשת
- קטע אמצעים במשולש: אורך וזווית, ניצבות, מקבילית, משולש שווה שוקיים; קטע אמצעים בתוך קטע אמצעים, תיכון, מרובע אמצעי הצלעות, דלתון ומלבן; אלכסונים מאונכים או שווים, דלתון, משולש ישר זווית
- הוכחת קטע אמצעים: ישר מקביל דרך אמצע צלע, זוויות מתאימות, מקבילית, קטע מקביל ושווה למחצית; שני ישרים מקבילים בזה אחר זה, תיכון, משולש ישר זווית ושווה שוקיים; בניית עזר, זווית 30°, חוצה זווית, מרובע
- קטע אמצעים בטרפז: אורך קטע האמצעים וזוויות, הבסיסים מהפרש, טרפז שווה שוקיים, ישר מקביל דרך אמצע שוק; האלכסונים חוצים את קטע האמצעים, טרפז בתוך טרפז, מקבילית; חוצה זווית, שליש השוק, בניית עזר, משפט 67
- פרופורציה ודמיון: תרגילים מסכמים: דמיון משולשים עם תאלס, חוצה זווית, תיכונים, גבהים ומרובעים; יחסי שטחים; הוכחות מדורגות ותשובה בפרמטר
- מרובע חסום במעגל: זוויות במרובע חסום, האם מרובע בר־חסימה, מקבילית וטרפז חסומים, מרובעים מגבהים, משיק ומיתרים
- מרובע חוסם מעגל: צלעות וקטעי משיקים, טרפז ודלתון חוסמים, זוויות במרכז המעגל ובמרובע נקודות ההשקה
- דמיון משולשים וקטעים מיוחדים: תרגילים מסכמים: משפטי הדמיון, יחסי צלעות, שטחים וגבהים, משפט חוצה הזווית, דמיון בטרפז ובמקבילית
- משיק ורדיוס: המשיק מאונך לרדיוס, הוכחה שישר הוא משיק, משיקים בקצות קוטר; זוויות, אורכים והוכחות
- שני משיקים: שני משיקים מנקודה, משיק שלישי, משולש ומרובע החוסמים מעגל; זוויות, אורכים והוכחות
- משיק ומיתר: זווית בין משיק למיתר: משולש חסום עם משיק בקדקוד, משיק ומיתר מקביל; זוויות והוכחות
- משפט תאלס: חישובים: אורכי קטעים ממקבילים החותכים שוקי זווית, משולש ופרפר; טרפז ואלכסונים, מניפה, מפגש התיכונים; ריבוע ומעוין חסומים
- משפט תאלס: הוכחות: הוכחת יחסים ומכפלות של קטעים, תיכון ומקביל, טרפז ואלכסונים, מקבילית, מפגש התיכונים; הוכחות מדורגות
- המשפט ההפוך למשפט תאלס: הוכחת מקבילות מקטעים פרופורציוניים: משולש, פרפר, זווית; מניפה, טרפז, משולש שווה שוקיים; מרובע, מפגש התיכונים, תיכון
- שני מעגלים בעלי מרכז משותף: מיתר של הגדול שחותך או משיק לקטן, משיקים לקטן מנקודה על הגדול, מיתרים שווים, ריבוע וקטע אמצעים
- מעגלים נחתכים: המיתר המשותף וקו המרכזים, קטרים מנקודת חיתוך, זוויות היקפיות בשני המעגלים, מעגלים שווים, משיק בנקודת חיתוך ודמיון
- מעגלים משיקים: נקודת ההשקה על קו המרכזים, מרחק המרכזים, המשיק המשותף, ישרים דרך נקודת ההשקה, משיק משותף חיצוני
דף לדוגמה (רמה בינונית)
שם: כיתה: תאריך:
גאומטריה — דף עבודה
שאלה 1: יחסי שטחים: חישובים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.הנקודות C ו־E על שוק אחת של זווית שקודקודה G, והנקודות D ו־F על השוק השנייה. נתון: GC = 4 ס״מ, CE = 11 ס״מ, GD = 6 ס״מ, DF = 4 ס״מ, S(CEFD) = 42 סמ״ר.חשבו את שטח המשולש GCD.
- ב.במשולש MNP הנקודות R ו־T על MN והנקודות S ו־U על MP, RS ∥ NP, TU ∥ NP. נתון: MR = 3 ס״מ, RT = 9 ס״מ, TN = 3 ס״מ, S△MRS = 4 סמ״ר.א. חשבו את שטח הטרפז RTUS.ב. חשבו את שטח הטרפז TNPU.
שאלה 2: יחסי שטחים: הוכחה וחישוב
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש STU הנקודה V על הצלע SU, ∡STV = ∡SUT.א. הוכיחו: △STV ∼ △SUT.ב. הוכיחו: ST² = SV · SU.ג. נתון: SV = 4 ס״מ, VU = 5 ס״מ, S△STV = 8 סמ״ר. חשבו את שטח המשולש TVU.
- ב.במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ∡ADE = ∡ACB.א. הוכיחו: △ADE ∼ △ACB.ב. הוכיחו: AD · AB = AE · AC.ג. נתון: AD = 3 ס״מ, AE = 4 ס״מ, EC = 2 ס״מ. חשבו את אורך הקטע DB.
שאלה 3: משפט חוצה הזווית
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש STU ST = SU. SV הגובה לבסיס TU, ו־TW חוצה את ∡STU (הנקודה W על SU). SV ו־TW נחתכים בנקודה Z. נתון: ST = 5 ס״מ ו־TU = 6 ס״מ.א. חשבו את אורך הקטע ZV.ב. חשבו את אורך הקטע SW.
- ב.במשולש TUV הקטע TW חוצה את ∡UTV (הנקודה W על UV). נתון: TU : TV = 4 : 7, ושטח המשולש TUV הוא 77 סמ״ר (S△TUV = 77).חשבו את שטח המשולש TUW.
שאלה 4: המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש NPR הנקודות S ו־T על הצלע PR, ו־T היא אמצע הצלע. נתון: NP = 30 ס״מ, NR = 18 ס״מ, PR = 32 ס״מ ו־PS = 20 ס״מ.א. הוכיחו: NS חוצה את ∡PNR, כלומר ∡PNS = ∡SNR.ב. חשבו את אורך הקטע ST.
- ב.המשולשים HJK ו־LJK נמצאים משני צדי הצלע המשותפת JK. הנקודה M על JK. נתון: HJ = 12 ס״מ, HK = 18 ס״מ, LJ = 16 ס״מ, LK = 24 ס״מ, JM = 8 ס״מ ו־MK = 12 ס״מ.א. הוכיחו: ∡JHM = ∡MHK.ב. הוכיחו: ∡JLM = ∡MLK.
שאלה 5: נקודת מפגש התיכונים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש GHJ נתון GH = GJ. התיכונים לשוקיים HK ו־JL נפגשים בנקודה M, ונתון ∡HMJ = 90°, HJ = 8 ס״מ. N אמצע HJ.א. חשבו את MN.ב. חשבו את אורך התיכון לבסיס GN.ג. הוכיחו: GN ⟂ HJ.
- ב.במשולש NPR הנקודה S היא אמצע הצלע PR. על התיכון NS נמצאת הנקודה T כך ש־NT = 2TS. המשך הקטע PT חותך את הצלע NR בנקודה U.א. הוכיחו: U אמצע NR.ב. נתון: PU ⟂ NR. הוכיחו: NP = PR.
שאלה 6: מעגל: הגדרות בסיסיות
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.הנקודות F, G ו־H נמצאות על מעגל שמרכזו O. נתון: OH ∥ FG.א. הוכיחו: ∡OFH = ∡HFG (הקטע FH חוצה את הזווית OFG).ב. נתון: ∡FOH = 136°. חשבו את ∡OFG.
- ב.KL קוטר במעגל שמרכזו O. הנקודות M ו־N נמצאות על המעגל באותו צד של הקוטר (M קרובה ל־K). נתון: MN ∥ KL.א. הוכיחו: KM = LN.ב. נתון: ∡KOM = 45°. חשבו את ∡MON.
שאלה 7: זווית מרכזית, קשתות ומיתרים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.P אמצע הקשת MN במעגל שמרכזו O, כלומר קשת MP = קשת PN. נתון: PR ⟂ OM, PS ⟂ ON. (R על OM, S על ON.)א. הוכיחו: PR = PS.ב. הוכיחו: MR = NS.
- ב.הנקודות M, N, P ו־R נמצאות על מעגל שמרכזו O, בסדר הזה. נתון: קשת MN = 62°, קשת NP = 110°, קשת PR = 62°. (כל קשת היא זו שאינה מכילה את שאר הנקודות.)א. חשבו את ∡MOR.ב. חשבו את ∡MNP.ג. חשבו את ∡NMR.ד. הוכיחו: NP ∥ MR.
שאלה 8: האנך ממרכז המעגל למיתר
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.המשולש DEF חסום במעגל שמרכזו O. נתון: OG ⟂ DE, OH ⟂ DF. (G על DE, H על DF.)א. הוכיחו: GH ∥ EF.ב. נתון: EF = 14 ס״מ. חשבו את GH.
- ב.FG מיתר במעגל שמרכזו O, ו־∡FOG = 120°. OJ ⟂ FG (J על המיתר), והמשך OJ חותך את המעגל בנקודה H.א. הוכיחו: OJ = ½OF (המרחק של המיתר מהמרכז שווה למחצית הרדיוס).ב. הוכיחו: המרובע OFHG מעוין.
שאלה 9: מיתרים שווים ומרחקם מהמרכז
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.AB ו־CD מיתרים שווים במעגל שמרכזו O, הנחתכים בנקודה E. נתון: OF ⟂ AB, OG ⟂ CD. (F על AB, G על CD.)א. הוכיחו: ∡OEF = ∡OEG (הקטע OE חוצה את הזווית FEG).ב. הוכיחו: EA = EC.
- ב.המשולש TUV חסום במעגל שמרכזו O. נתון: OW ⟂ TU, OZ ⟂ TV, OW = OZ. (W על TU, Z על TV.)א. הוכיחו: TU = TV.ב. הוכיחו: WZ ∥ UV.ג. נתון: ∡TUV = 37°. חשבו את ∡UTV.
שאלה 10: זוויות היקפיות
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.הנקודות J, K, L ו־M על מעגל. המיתרים JL ו־KM נחתכים בנקודה N. הקשת JK (שאינה מכילה את L) היא 78°, והקשת LM (שאינה מכילה את J) היא 52°.א. חשבו את ∡JLK ואת ∡MKL.ב. חשבו את ∡JNK.ג. חשבו את ∡KNL.
- ב.במעגל שמרכזו O, PR מיתר, והנקודה S על הקשת הגדולה PR.א. הוכיחו: ∡OPR = 90° − ∡PSR.ב. נתון: ∡PSR = 39°. חשבו את ∡OPR.
שאלה 11: פרופורציות במעגל
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.DC קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר EB מאונך לקוטר וחותך אותו בנקודה A. נתון: EB = 6, DA = 1 (ס״מ).א. חשבו את AC.ב. חשבו את רדיוס המעגל.ג. חשבו את המרחק OA.
- ב.המשולש PRS חסום במעגל. הנקודה T על הצלע PR והנקודה U על הצלע PS, כך ש־TU ∥ RS. הישר TU חותך את המעגל בנקודות V (ליד T) ו־W (ליד U). נתון: PR = 15, PT = 5, RS = 21, VT = 2 (ס״מ).א. חשבו את TU.ב. חשבו את UW.
שאלה 12: מעגל, תרגילים מסכמים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.RSTU דלתון (RS = RU, TS = TU), שהאלכסונים שלו נחתכים בנקודה V. נתון: ∡RST = 90°.א. הוכיחו: RSTU בר־חסימה במעגל (אפשר לחסום את הדלתון במעגל), ו־RT קוטר של המעגל.ב. O מרכז המעגל. נתון: SU = 24 ס״מ, OS = 13 ס״מ. חשבו את מרחק מרכז המעגל מהאלכסון SU (הקטע OV).ג. חשבו את אורך הקטע RV.
- ב.HL קוטר במעגל שמרכזו O, ו־JK מיתר המקביל לו (JK ∥ HL; J קרובה ל־H).א. הוכיחו: HJKL טרפז שווה שוקיים: HJKL טרפז, ו־HJ = KL.ב. נתון: ∡JHL = 63°. חשבו את ∡JOK.
שאלה 13: מעגל חוסם משולש
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.הנקודה G היא מרכז המעגל החוסם את המשולש FED. נתון: ∡FGD = 104°, ∡FGE = 140°.א. חשבו את זוויות המשולש.ב. חשבו את ∡GFD.
- ב.במשולש RPL נתון RP = RL. RM הוא הגובה לבסיס PL. הנקודה N על RM מקיימת NR = NP.א. הוכיחו: N מרכז המעגל החוסם את המשולש RPL.ב. הוכיחו: ∡PNM = ∡PRL.
שאלה 14: מעגל חסום במשולש
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.הנקודה K היא מרכז המעגל החסום במשולש HLJ. נתון: ∡LKJ = 116°, ∡HKJ = 117°.חשבו את זוויות המשולש.
- ב.במשולש VUZ נתון VU = VZ. הנקודה W היא מרכז המעגל החסום במשולש.א. הוכיחו: WU = WZ.ב. הוכיחו: VW ⟂ UZ.ג. נתון: ∡UVZ = 70°. חשבו את ∡UWZ.
שאלה 15: קטע אמצעים במשולש
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש EFG הנקודות H ו־J הן אמצעי הצלעות EF ו־EG בהתאמה. הנקודות K ו־L הן אמצעי הקטעים EH ו־EJ בהתאמה.א. הוכיחו: FG = 4KL.ב. נתון: KL = 6 ס״מ. חשבו את HJ ואת FG.
- ב.במשולש STU הקטע SV הוא התיכון לצלע TU. הנקודה W היא אמצע התיכון SV, והנקודה Z היא אמצע הצלע ST.א. הוכיחו: ZW ∥ TU.ב. נתון: TU = 24 ס״מ. חשבו את אורך הקטע ZW.
שאלה 16: קטע אמצעים בטרפז
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.DEFG טרפז (DE ∥ GF). הנקודות H ו־J הן אמצעי השוקיים DG ו־EF בהתאמה. הקטע HJ חותך את האלכסון EG בנקודה K.א. הוכיחו: K אמצע EG.ב. נתון: HK = 6 ס״מ, KJ = 10 ס״מ. חשבו את אורכי הבסיסים.ג. חשבו את אורך קטע האמצעים HJ.
- ב.HJKL טרפז (HJ ∥ LK). הנקודות M ו־N הן אמצעי השוקיים HL ו־JK בהתאמה. הנקודות P ו־R הן אמצעי הקטעים HM ו־JN בהתאמה.א. הוכיחו: המרובע HJNM הוא טרפז.ב. הוכיחו: PR = ½(HJ + MN).ג. נתון: HJ = 10 ס״מ, LK = 22 ס״מ. חשבו את MN ואת PR.
שאלה 17: פרופורציה ודמיון: תרגילים מסכמים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש LNJ הקטע LM חוצה את הזווית L (M על NJ). הישר העובר דרך M ומקביל ל־LJ חותך את LN בנקודה K.א. הוכיחו: LK = KM.ב. נתון: LN = 15 ס״מ, LJ = 10 ס״מ, NJ = 10 ס״מ. חשבו את NM ואת MJ.ג. חשבו את LK.
- ב.GEFJ ריבוע. K נקודה על הצלע EF. מהקודקוד J מורידים אנך JH לקטע GK.א. הוכיחו: △GEK ∼ △JHG.ב. נתון: GE = 20 ס״מ, EK = 15 ס״מ. חשבו את GK, JH ו־GH.ג. חשבו את שטח המשולש GHJ.
שאלה 18: מרובע חסום במעגל
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.DG ו־EH גבהים במשולש החד־זווית DEF, והם נחתכים בנקודה J.א. הוכיחו: FHJG בר־חסימה במעגל.ב. נתון: ∡DFE = 64°. חשבו את ∡GJH ואת ∡DJE.ג. נתון: ∡HFJ = 22°. חשבו את ∡HGJ.
- ב.המרובע GHJK חסום במעגל, והאלכסונים שלו נחתכים בנקודה L. נתון: ∡GHK = 38°, ∡KHJ = 38°, ∡GJH = 68°.א. חשבו את ∡GKJ.ב. חשבו את ∡HGK.ג. חשבו את ∡GLH.
שאלה 19: מרובע חוסם מעגל
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.בדלתון GHJK נתון: GH = GK, JH = JK, ∡GHJ = 90°. O מרכז המעגל העובר דרך G, H ו־J.א. הוכיחו: GHJK בר־חסימה במעגל.ב. הוכיחו: GHJK חוסם מעגל.ג. נתון: GH = 16 ס״מ, HJ = 30 ס״מ. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את הדלתון.
- ב.המרובע KLMN חוסם מעגל שמרכזו O. נקודות ההשקה הן P, R, S ו־T, על הצלעות KL, LM, MN ו־NK בהתאמה.א. הוכיחו: S(KLMN) = OP · (KL + MN).ב. נתון: KL = 10 ס״מ, MN = 8 ס״מ, ושטח המרובע 72 סמ״ר. חשבו את רדיוס המעגל.
שאלה 20: דמיון משולשים וקטעים מיוחדים: תרגילים מסכמים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש EFG הנקודה H על הצלע FG והנקודה J על הצלע EG. נתון: EF = 12 ס״מ, EG = 16 ס״מ, FH = 6 ס״מ, HG = 8 ס״מ, EJ = 9 ס״מ.א. הוכיחו: ∡FEH = ∡HEG, כלומר EH חוצה את הזווית FEG.ב. הוכיחו: △EJF ∼ △EFG.ג. חשבו את אורך הקטע FJ.
- ב.EFGH טרפז (EF ∥ HG). האלכסונים EG ו־FH נחתכים בנקודה J. נתון: EF = 15 ס״מ, HG = 20 ס״מ, EG = 21 ס״מ.א. הוכיחו: △EJF ∼ △GJH.ב. חשבו את אורכי הקטעים EJ ו־JG.ג. חשבו את היחס בין שטח המשולש EJF לשטח המשולש GJH.
שאלה 21: משיק ורדיוס
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.RT מיתר במעגל שמרכזו Q. S נקודה מחוץ למעגל, S ו־T באותו צד של הישר QR, ו־∡RQT = 2∡SRT.א. הוכיחו: RS משיק למעגל Q בנקודה undefined.ב. נתון: ∡RTQ = 25°. חשבו את ∡SRT.
- ב.MN קוטר במעגל שמרכזו Q. MR משיק למעגל שמרכזו Q בנקודה M. P נקודה על המעגל, והמשך NP חותך את המשיק בנקודה R.א. הוכיחו: ∡RMP = ∡MNP.ב. נתון: MR = 15 ס״מ, MN = 20 ס״מ. חשבו את MP ואת RP.
שאלה 22: שני משיקים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.EF ו־EG משיקים למעגל שמרכזו Q בנקודות F ו־G. המשיק למעגל בנקודה H שעל הקשת הקטנה FG חותך את EF בנקודה J ואת EG בנקודה K. נתון: EF = 7 ס״מ, ∡FEG = 36°.א. חשבו את היקף המשולש EJK.ב. חשבו את ∡JQK.
- ב.במשולש GHJ GH = GJ. צלעות המשולש משיקות למעגל שמרכזו Q (GHJ חוסם את המעגל שמרכזו Q): HJ בנקודה K, GH בנקודה L ו־GJ בנקודה M.א. הוכיחו: K אמצע HJ.ב. הוכיחו: GK ⟂ HJ.ג. הוכיחו: LM ∥ HJ.ד. נתון: GH = 13 ס״מ, HJ = 24 ס״מ. חשבו את רדיוס המעגל QK.
שאלה 23: משיק ומיתר
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.MN ו־MP משיקים למעגל שמרכזו O בנקודות N ו־P. R נקודה על הקשת הגדולה NP. נתון: ∡NRP = 59°.א. חשבו את ∡MNP.ב. חשבו את ∡NMP.ג. חשבו את ∡NOP.
- ב.המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. AE משיק למעגל שמרכזו O בנקודה A. הישר העובר דרך C ומקביל ל־AE חותך את AB בנקודה D (CD ∥ AE).א. הוכיחו: △ADC ∼ △ACB.ב. נתון: AD = 3 ס״מ, AB = 12 ס״מ. חשבו את AC.
שאלה 24: משפט תאלס: חישובים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.במשולש KFJ הנקודה H על הצלע KF והנקודה G על הצלע KJ, HG ∥ FJ. הקטע KH ארוך מהקטע HF ב־12 ס״מ. נתון: KG = 15 ס״מ, GJ = 9 ס״מ.חשבו את אורכי הקטעים KH ו־HF.
- ב.במשולש HLM התיכונים HN ו־LK נפגשים בנקודה G (N אמצע LM, K אמצע HM). ישר דרך G המקביל ל־LM חותך את HL בנקודה J ואת HM בנקודה P. נתון: HL = 21 ס״מ, LM = 18 ס״מ.א. חשבו את אורך הקטע LJ.ב. חשבו את אורך הקטע JP.
שאלה 25: משפט תאלס: הוכחות
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.בציור: T על RV, U על RS ו־Z על RW; TU ∥ VS, UZ ∥ SW.א. הוכיחו: RT · ZW = RZ · TV.ב. נתון: RT = 10 ס״מ, TV = 4 ס״מ, RW = 21 ס״מ. חשבו את אורך הקטע RZ.
- ב.RKML טרפז (RK ∥ LM), האלכסונים נפגשים בנקודה P.א. הוכיחו: PR · PL = PK · PM.ב. ישר דרך P המקביל לבסיסים חותך את RL בנקודה N. הוכיחו: RN/NL = RK/LM.
שאלה 26: המשפט ההפוך למשפט תאלס
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.בציור: F על JL, E על JK ו־H על JG. נתון: FE ∥ LK, JH/HG = JF/FL.הוכיחו: HE ∥ GK.
- ב.במשולש GKF נתון GK = GF. הנקודה J על GK והנקודה H על GF, ונתון KJ = FH.הוכיחו: JH ∥ KF.
שאלה 27: שני מעגלים בעלי מרכז משותף
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.שני מעגלים שמרכזם המשותף N. MP ו־RS מיתרים שווים של המעגל הגדול, ו־U אמצע RS. המיתר MP משיק למעגל הקטן בנקודה T.א. הוכיחו: RS משיק למעגל הקטן בנקודה U.ב. רדיוסי המעגלים 35 ס״מ ו־21 ס״מ. חשבו את RS.
- ב.שני מעגלים שמרכזם המשותף Q. A נקודה על המעגל הגדול, ו־AB ו־AC מיתרים שווים שלו. AB חותך את המעגל הקטן בנקודות D ו־E, ו־AC חותך אותו בנקודות F ו־G (D ו־F קרובות ל־A).א. הוכיחו: DE = FG.ב. הוכיחו: AD = AF.ג. הוכיחו: DF ∥ BC.
שאלה 28: מעגלים נחתכים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.המעגלים שמרכזיהם N ו־O נחתכים בנקודות J ו־K. JL קוטר במעגל שמרכזו N, ו־JM קוטר במעגל שמרכזו O.א. הוכיחו: K על הקטע LM (הנקודות L, K ו־M על ישר אחד).ב. הוכיחו: LM ∥ NO ו־LM = 2NO.ג. רדיוסי המעגלים 29 ס״מ ו־25 ס״מ, ו־JK = 40 ס״מ. חשבו את LM.
- ב.שני מעגלים שווים שמרכזיהם N ו־Q נחתכים בנקודות R ו־S. NQ חותך את RS בנקודה T.א. הוכיחו: NRQS מעוין.ב. הוכיחו: NQ ⟂ RS.ג. רדיוס המעגלים 34 ס״מ, ו־NQ = 32 ס״מ. חשבו את RS.
שאלה 29: מעגלים משיקים
פתרו כל סעיף. בהוכחה: רשמו טענות ממוספרות, ולכל טענה נימוק (נתון, הגדרה או משפט) ואת הטענות שהיא נשענת עליהן.
- א.המעגלים שמרכזיהם Q ו־N, ורדיוסיהם 7 ס״מ ו־3 ס״מ, משיקים מבחוץ בנקודה K. ישר דרך K חותך את המעגל שמרכזו Q בנקודה L ואת המעגל שמרכזו N בנקודה M.א. הוכיחו: QL ∥ NM.ב. נתון: KL = 7 ס״מ. חשבו את KM.
- ב.המעגלים שמרכזיהם K ו־M משיקים מבחוץ בנקודה H. JL משיק משותף שלהם (J על המעגל שמרכזו K, L על המעגל שמרכזו M), והמשיק המשותף בנקודה H חותך את JL בנקודה N.א. הוכיחו: N אמצע JL.ב. הוכיחו: ∡JHL = 90°.ג. נתון: JL = 24 ס״מ. חשבו את HN.
דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: math-generator-a6o.pages.dev
דף תשובות
שאלה 1: יחסי שטחים: חישובים
- א.S△GCD = 8 סמ״ר
טענה נימוק (1) GC = 4, CE = 11, GD = 6, DF = 4 נתון (2) GE = 15, GF = 10 לפי (1): חישוב (3) GC/GF = GD/GE לפי (2), (1): חישוב (4) ∡CGD = ∡FGE זווית משותפת (5) △GCD ∼ △GFE לפי (3), (4): משפט דמיון צלע זווית צלע (משפט 68) (6) GC/GF = 2/5 לפי (1), (2): חישוב (7) S△GCD/S△GFE = 4/25 לפי (5), (6): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז) (8) S△GFE = S△GCD + S(CEFD) שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (9) S(CEFD) = 42 נתון (10) S△GCD = 8 לפי (7), (8), (9): חישוב - ב.א. S(RTUS) = 60 סמ״ר
ב. S(TNPU) = 36 סמ״רטענה נימוק סעיף א (1) RS ∥ NP, TU ∥ NP נתון (2) ∡MRS = ∡MNP לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו (משפט 6) (3) ∡MTU = ∡MNP לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו (משפט 6) (4) ∡RMS = ∡TMU = ∡NMP זווית משותפת (5) △MRS ∼ △MNP לפי (2), (4): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (6) △MTU ∼ △MNP לפי (3), (4): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (7) MR = 3, RT = 9, TN = 3 נתון (8) MR/MN = 1/5 לפי (7): חישוב (9) MT/MN = 4/5 לפי (7): חישוב (10) S△MRS/S△MNP = 1/25 לפי (5), (8): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז) (11) S△MTU/S△MNP = 16/25 לפי (6), (9): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז) (12) S△MRS = 4 נתון (13) S△MNP = 100, S△MTU = 64 לפי (10), (11), (12): חישוב (14) S(RTUS) = S△MTU − S△MRS שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (15) S(RTUS) = 60 לפי (12), (13), (14): חישוב סעיף ב (16) S(TNPU) = S△MNP − S△MTU שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (17) S(TNPU) = 36 לפי (13), (16): חישוב
שאלה 2: יחסי שטחים: הוכחה וחישוב
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. S△TVU = 10 סמ״רטענה נימוק סעיף א (1) ∡STV = ∡SUT נתון (2) ∡TSV = ∡UST זווית משותפת (3) △STV ∼ △SUT לפי (1), (2): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) ST/SU = SV/ST לפי (3): במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות (5) ST² = SV · SU לפי (4): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ג (6) SV = 4, VU = 5 נתון (7) ST = 6 לפי (4), (6): חישוב (8) ST/SU = 2/3 לפי (6), (7): חישוב (9) S△STV/S△SUT = 4/9 לפי (3), (8): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז) (10) S△STV = 8 נתון (11) S△STU = 18 לפי (9), (10): חישוב (12) S△TVU = S△STU − S△STV שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (13) S△TVU = 10 לפי (10), (11), (12): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. DB = 5 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) ∡ADE = ∡ACB נתון (2) ∡DAE = ∡CAB זווית משותפת (3) △ADE ∼ △ACB לפי (1), (2): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) AD/AC = AE/AB לפי (3): במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות (5) AD · AB = AE · AC לפי (4): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ג (6) AD = 3, AE = 4, EC = 2 נתון (7) AC = 6 לפי (6): חישוב (8) AB = 8 לפי (4), (6), (7): חישוב (9) DB = 5 לפי (6), (8): חישוב
שאלה 3: משפט חוצה הזווית
- א.א. ZV = 3/2 = 1½ ס״מ
ב. SW = 25/11 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) ST = SU, SV ⟂ TU נתון (2) ST = 5, TU = 6 נתון (3) TV = VU לפי (1): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (4) TV = 3 לפי (2), (3): חישוב (5) SV = 4 לפי (1), (2), (4): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (6) ∡STW = ∡WTU נתון (7) SZ/ZV = ST/TV לפי (6): חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה (משפט 76) (8) ZV = 3/2 לפי (2), (4), (5), (7): חישוב סעיף ב (9) SW/WU = ST/TU לפי (6): חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה (משפט 76) (10) SW = 25/11 לפי (1), (2), (9): חישוב - ב.S△TUW = 28 סמ״ר
בניית עזר: TZ גובה לצלע UVטענה נימוק (1) ∡UTW = ∡WTV נתון (2) TU/TV = 4/7, S△TUV = 77 נתון (3) TZ ⟂ UV בניית עזר (4) S△TUW = ½ · UW · TZ לפי (3): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (5) S△TUV = ½ · UV · TZ לפי (3): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (6) UW/WV = TU/TV לפי (1): חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה (משפט 76) (7) S△TUW = 28 לפי (2), (4), (5), (6): חישוב
שאלה 4: המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית
- א.א. הוכחה
ב. ST = 4 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) NP = 30, NR = 18, PR = 32, PS = 20 נתון (2) PS/SR = NP/NR לפי (1): חישוב (3) ∡PNS = ∡SNR לפי (2): ישר העובר דרך קודקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קודקוד זה חלוקה פנימית, ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר (משפט 77) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) T אמצע PR נתון (5) PT = TR לפי (4): הגדרת אמצע קטע (6) PT = 16 לפי (1), (5): חישוב (7) ST = 4 לפי (1), (6): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) HJ = 12, HK = 18, LJ = 16, LK = 24, JM = 8, MK = 12 נתון (2) JM/MK = HJ/HK לפי (1): חישוב (3) ∡JHM = ∡MHK לפי (2): ישר העובר דרך קודקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קודקוד זה חלוקה פנימית, ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר (משפט 77) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) JM/MK = LJ/LK לפי (1): חישוב (5) ∡JLM = ∡MLK לפי (4): ישר העובר דרך קודקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קודקוד זה חלוקה פנימית, ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר (משפט 77) (מ.ש.ל)
שאלה 5: נקודת מפגש התיכונים
- א.א. MN = 4 ס״מ
ב. GN = 12 ס״מ
ג. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) K אמצע GJ, L אמצע GH נתון (2) ∡HMJ = 90° נתון (3) N אמצע HJ נתון (4) MN = ½HJ לפי (2), (3): במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר (משפט 31) (5) HJ = 8 נתון (6) MN = 4 לפי (4), (5): חישוב סעיף ב (7) M נקודת מפגש התיכונים במשולש GHJ לפי (1): שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת (משפט 15) (8) GM = 2MN, GN = 3MN לפי (7): נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 (החלק הקרוב לקודקוד ארוך פי 2 מהחלק האחר) (משפט 17) (9) GN = 12 לפי (4), (5), (8): חישוב סעיף ג (10) GH = GJ נתון (11) GN ⟂ HJ לפי (3), (10): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (מ.ש.ל) - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) S אמצע PR נתון (2) NT = 2TS נתון (3) T נקודת מפגש התיכונים במשולש NPR לפי (1), (2): נקודה שמחלקת תיכון ביחס 2:1 היא נקודת מפגש התיכונים (4) U אמצע NR לפי (3): שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת (משפט 15) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) PU ⟂ NR נתון (6) NP = PR לפי (4), (5): אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה שוקיים (משפט 27) (מ.ש.ל)
שאלה 6: מעגל: הגדרות בסיסיות
- א.א. הוכחה
ב. ∡OFG = 44°טענה נימוק סעיף א (1) OH ∥ FG נתון (2) ∡OHF = ∡HFG לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (3) OF = OH במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (4) ∡OFH = ∡OHF לפי (3): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (5) ∡OFH = ∡HFG לפי (2), (4): כלל המעבר (מ.ש.ל) סעיף ב (6) ∡FOH = 136° נתון (7) ∡OFH = 22° לפי (4), (6): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (8) ∡OFG = 44° לפי (5), (7): השלם שווה לסכום חלקיו - ב.א. הוכחה
ב. ∡MON = 90°טענה נימוק סעיף א (1) MN ∥ KL נתון (2) ∡OMN = ∡KOM לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (3) ∡ONM = ∡NOL לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (4) OM = ON במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (5) OK = OL במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (6) ∡OMN = ∡ONM לפי (4): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (7) ∡KOM = ∡NOL לפי (2), (3), (6): חישוב (8) △KOM ≅ △LON לפי (4), (5), (7): משפט חפיפה צלע זווית צלע (משפט 18) (9) KM = LN לפי (8): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (מ.ש.ל) סעיף ב (10) ∡KOM = 45° נתון (11) ∡MOL = 135° לפי (10): זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-180° (משפט 1) (12) ∡MON = 90° לפי (7), (10), (11): השלם שווה לסכום חלקיו
שאלה 7: זווית מרכזית, קשתות ומיתרים
- א.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) קשת MP = קשת PN נתון (2) ∡MOP = ∡NOP לפי (1): במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו (משפט 92) (3) PR ⟂ OM, PS ⟂ ON נתון (4) ∡ORP = 90°, ∡OSP = 90° לפי (3): הגדרת ישרים מאונכים (5) ∡OPR = ∡OPS לפי (2), (4): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (6) △OPR ≅ △OPS לפי (2), (5): משפט חפיפה זווית צלע זווית (משפט 19) (7) PR = PS לפי (6): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (מ.ש.ל) סעיף ב (8) OR = OS לפי (6): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (9) OM = ON במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (10) MR = NS לפי (8), (9): השלם שווה לסכום חלקיו (מ.ש.ל) - ב.א. ∡MOR = 126°
ב. ∡MNP = 94°
ג. ∡NMR = 86°
ד. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) קשת MN = 62°, קשת NP = 110°, קשת PR = 62° נתון (2) ∡MON = 62°, ∡NOP = 110°, ∡POR = 62° לפי (1): מידת קשת שווה למידת הזווית המרכזית הנשענת עליה (3) ∡MOR = 126° לפי (2): סכום הקשתות של מעגל הוא 360° סעיף ב (4) OM = ON = OP = OR במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (5) ∡ONP = ∡OPN, ∡OMN = ∡ONM, ∡OMR = ∡ORM לפי (4): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (6) ∡ONP = 35° לפי (2), (5): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (7) ∡ONM = 59° לפי (2), (5): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (8) ∡MNP = 94° לפי (6), (7): השלם שווה לסכום חלקיו סעיף ג (9) ∡OMR = 27° לפי (3), (5): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (10) ∡NMR = 86° לפי (5), (7), (9): השלם שווה לסכום חלקיו סעיף ד (11) ∡MNP + ∡NMR = 180° לפי (8), (10): חישוב (12) NP ∥ MR לפי (11): שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא 180°, אז שני הישרים מקבילים (משפט 9) (מ.ש.ל)
שאלה 8: האנך ממרכז המעגל למיתר
- א.א. הוכחה
ב. GH = 7 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) OG ⟂ DE, OH ⟂ DF נתון (2) G אמצע DE, H אמצע DF לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (3) GH ∥ EF, GH = ½EF לפי (2): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) EF = 14 נתון (5) GH = 7 לפי (3), (4): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) OJ ⟂ FG, ∡FOG = 120° נתון (2) ∡FOJ = ∡GOJ לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (3) ∡FOJ = 60° לפי (1), (2): השלם שווה לסכום חלקיו (4) ∡OJF = 90° לפי (1): הגדרת ישרים מאונכים (5) ∡OFJ = 30° לפי (3), (4): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (6) OJ = ½OF לפי (4), (5): אם במשולש ישר זווית, זווית חדה של 30°, אז הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר (משפט 33) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) OF = OH במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (8) OJ = JH לפי (6), (7): השלם שווה לסכום חלקיו (9) J אמצע FG לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (10) OFHG מקבילית לפי (8), (9): מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית (משפט 47) (11) OFHG מעוין לפי (1), (10): מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין (משפט 58) (מ.ש.ל)
שאלה 9: מיתרים שווים ומרחקם מהמרכז
- א.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) AB = CD נתון (2) OF ⟂ AB, OG ⟂ CD נתון (3) OF = OG לפי (1), (2): מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל (משפט 95) (4) ∡OFE = 90°, ∡OGE = 90° לפי (2): הגדרת ישרים מאונכים (5) △OFE ≅ △OGE לפי (3), (4): שני משולשים ישרי זווית שלהם ניצב שווה ויתר שווה חופפים זה לזה (משפט 30) (6) ∡OEF = ∡OEG לפי (5): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (מ.ש.ל) סעיף ב (7) EF = EG לפי (5): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (8) F אמצע AB, G אמצע CD לפי (2): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (9) EA = EC לפי (1), (7), (8): השלם שווה לסכום חלקיו (מ.ש.ל) - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. ∡UTV = 106°טענה נימוק סעיף א (1) OW ⟂ TU, OZ ⟂ TV נתון (2) OW = OZ נתון (3) TU = TV לפי (1), (2): מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה (משפט 96) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) W אמצע TU, Z אמצע TV לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (5) WZ ∥ UV לפי (4): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (מ.ש.ל) סעיף ג (6) ∡TUV = 37° נתון (7) ∡TUV = ∡TVU לפי (3): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (8) ∡UTV = 106° לפי (6), (7): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10)
שאלה 10: זוויות היקפיות
- א.א. ∡JLK = 39°, ∡MKL = 26°
ב. ∡JNK = 65°
ג. ∡KNL = 115°טענה נימוק סעיף א (1) קשת JK = 78°, קשת LM = 52° נתון (2) ∡JLK = 39°, ∡MKL = 26° לפי (1): במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת (משפט 99) סעיף ב (3) ∡JNK = 65° לפי (2): זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה (משפט 11) סעיף ג (4) ∡KNL = 115° לפי (3): זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-180° (משפט 1) - ב.א. הוכחה
ב. ∡OPR = 51°טענה נימוק סעיף א (1) ∡POR = 2∡PSR במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת (משפט 99) (2) OP = OR במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (3) ∡OPR = ∡ORP לפי (2): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (4) ∡OPR = 90° − ∡PSR לפי (1), (3): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) ∡PSR = 39° נתון (6) ∡OPR = 51° לפי (4), (5): חישוב
שאלה 11: פרופורציות במעגל
- א.א. AC = 9 ס״מ
ב. OD = 5 ס״מ
ג. OA = 4 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) DC קוטר, DC ⟂ EB נתון (2) EA = AB לפי (1): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (3) EB = 6, DA = 1 נתון (4) EB = EA + AB השלם שווה לסכום חלקיו (5) EA = 3, AB = 3 לפי (2), (3), (4): חישוב (6) DA · AC = EA · AB אם שני מיתרים נחתכים, מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני (7) AC = 9 לפי (3), (5), (6): חישוב סעיף ב (8) DC = DA + AC השלם שווה לסכום חלקיו (9) DC = 10 לפי (3), (7), (8): חישוב (10) DC = 2OD הגדרת קוטר: עובר דרך מרכז המעגל (11) OD = 5 לפי (9), (10): חישוב סעיף ג (12) OD = DA + AO השלם שווה לסכום חלקיו (13) OA = 4 לפי (3), (11), (12): חישוב - ב.א. TU = 7 ס״מ
ב. UW = 18 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) TU ∥ RS נתון (2) TU/RS = PT/PR לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (3) PR = 15, PT = 5, RS = 21, VT = 2 נתון (4) TU = 7 לפי (2), (3): חישוב סעיף ב (5) PR = PT + TR השלם שווה לסכום חלקיו (6) TR = 10 לפי (3), (5): חישוב (7) VT · TW = PT · TR אם שני מיתרים נחתכים, מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני (8) TW = 25 לפי (3), (6), (7): חישוב (9) TW = TU + UW השלם שווה לסכום חלקיו (10) UW = 18 לפי (4), (8), (9): חישוב
שאלה 12: מעגל, תרגילים מסכמים
- א.א. הוכחה
ב. OV = 5 ס״מ
ג. RV = 8 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) RS = RU, TS = TU נתון (2) RSTU דלתון לפי (1): הגדרת דלתון (3) ∡RST = 90° נתון (4) ∡RUT = ∡RST לפי (2): זוויות הצד בדלתון שוות זו לזו (משפט 37) (5) ∡RST + ∡RUT = 180° לפי (3), (4): חישוב (6) RSTU בר־חסימה במעגל לפי (5): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (7) RT קוטר לפי (3): זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר (משפט 104) (מ.ש.ל) סעיף ב (8) SU = 24, OS = 13 נתון (9) RT ⟂ SU לפי (2): האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש, חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו (משפט 38) (10) V אמצע SU לפי (9): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (11) SV = VU לפי (10): הגדרת אמצע קטע (12) SU = SV + VU השלם שווה לסכום חלקיו (13) SV = 12 לפי (8), (11), (12): חישוב (14) OV = 5 לפי (9), (8), (13): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) סעיף ג (15) OR = OS במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (16) RO = RV + VO השלם שווה לסכום חלקיו (17) RV = 8 לפי (8), (14), (15), (16): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. ∡JOK = 72°טענה נימוק סעיף א (1) JK ∥ HL נתון (2) ∡JKH = ∡KHL לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (3) HJ = KL לפי (2): במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים (משפט 100) (4) HJKL טרפז לפי (1): הגדרת טרפז (מ.ש.ל) סעיף ב (5) ∡JHL = 63° נתון (6) ∡JHL = ½∡JOL במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת (משפט 99) (7) ∡JOL = 126° לפי (5), (6): חישוב (8) ∡HOJ = 54° לפי (7): זוויות צמודות משלימות זו את זו ל-180° (משפט 1) (9) ∡HOJ = ∡KOL לפי (3): במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה (משפט 93) (10) ∡JOK = ∡JOL − ∡KOL השלם שווה לסכום חלקיו (11) ∡JOK = 72° לפי (7), (8), (9), (10): חישוב
שאלה 13: מעגל חוסם משולש
- א.א. ∡FED = 52°, ∡FDE = 70°, ∡DFE = 58°
ב. ∡GFD = 38°טענה נימוק סעיף א (1) G מרכז המעגל החוסם את המשולש FED נתון (2) ∡FGD = 104°, ∡FGE = 140° נתון (3) ∡FGD = 2∡FED, ∡FGE = 2∡FDE לפי (1): במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת (משפט 99) (4) ∡FED = 52°, ∡FDE = 70° לפי (2), (3): חישוב (5) ∡DFE = 58° לפי (4): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) סעיף ב (6) GF = GD במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (7) ∡GFD = ∡GDF לפי (6): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (8) ∡GFD = 38° לפי (2), (7): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) RP = RL נתון (2) RM ⟂ PL נתון (3) M אמצע PL לפי (1), (2): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (4) NP = NL לפי (2), (3): כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע, נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע (משפט 82) (5) NR = NP נתון (6) N מרכז המעגל החוסם את המשולש RPL לפי (4), (5): הגדרת מעגל חוסם משולש (מ.ש.ל) סעיף ב (7) ∡PNL = 2∡PRL לפי (6): במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת (משפט 99) (8) ∡PNM = ∡MNL לפי (3), (4): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (9) ∡PNL = ∡PNM + ∡MNL השלם שווה לסכום חלקיו (10) ∡PNM = ∡PRL לפי (7), (8), (9): חישוב (מ.ש.ל)
שאלה 14: מעגל חסום במשולש
- א.∡HJL = 74°, ∡LHJ = 52°, ∡HLJ = 54°
טענה נימוק סעיף א (1) K מרכז המעגל החסום במשולש HLJ נתון (2) ∡LKJ = 116°, ∡HKJ = 117° נתון (3) ∡KLJ = ½∡HLJ, ∡KJL = ½∡HJL, ∡KHJ = ½∡LHJ, ∡KJH = ½∡HJL לפי (1): שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש (משפט 80) (4) ∡KLJ + ∡KJL = 64° לפי (2): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (5) ∡KHJ + ∡KJH = 63° לפי (2): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (6) ∡LHJ + ∡HLJ + ∡HJL = 180° סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (7) ∡HJL = 74°, ∡LHJ = 52°, ∡HLJ = 54° לפי (3), (4), (5), (6): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. ∡UWZ = 125°טענה נימוק סעיף א (1) VU = VZ נתון (2) ∡VUZ = ∡VZU לפי (1): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (3) W מרכז המעגל החסום במשולש VUZ נתון (4) ∡WUZ = ½∡VUZ, ∡WZU = ½∡VZU לפי (3): שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש (משפט 80) (5) ∡WUZ = ∡WZU לפי (2), (4): חישוב (6) WU = WZ לפי (5): משולש שבו שתי זוויות שוות, הוא משולש שווה שוקיים (משפט 23) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) ∡UVW = ∡WVZ לפי (3): שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש (משפט 80) (8) VW ⟂ UZ לפי (1), (7): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (מ.ש.ל) סעיף ג (9) ∡UVZ = 70° נתון (10) ∡VUZ = 55° לפי (2), (9): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (11) ∡UWZ = 125° לפי (2), (4), (10): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10)
שאלה 15: קטע אמצעים במשולש
- א.א. הוכחה
ב. HJ = 12 ס״מ, FG = 24 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) H אמצע EF, J אמצע EG, K אמצע EH, L אמצע EJ נתון (2) HJ קטע אמצעים במשולש EFG לפי (1): הגדרת קטע אמצעים במשולש (3) HJ = ½FG לפי (2): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (4) KL קטע אמצעים במשולש EHJ לפי (1): הגדרת קטע אמצעים במשולש (5) KL = ½HJ לפי (4): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (6) FG = 4KL לפי (3), (5): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ב (7) KL = 6 נתון (8) HJ = 12 לפי (5), (7): חישוב (9) FG = 24 לפי (6), (7): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. ZW = 6 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) V אמצע TU, W אמצע SV, Z אמצע ST נתון (2) ZW קטע אמצעים במשולש STV לפי (1): הגדרת קטע אמצעים במשולש (3) ZW ∥ TU, ZW = ½TV לפי (2): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) TV = VU לפי (1): הגדרת אמצע קטע (5) TV + VU = TU חיבור קטעים (6) TU = 24 נתון (7) ZW = 6 לפי (3), (4), (5), (6): חישוב
שאלה 16: קטע אמצעים בטרפז
- א.א. הוכחה
ב. DE = 12 ס״מ, GF = 20 ס״מ
ג. HJ = 16 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) DEFG טרפז, H אמצע DG, J אמצע EF נתון (2) HJ קטע אמצעים בטרפז DEFG לפי (1): הגדרת קטע אמצעים בטרפז (3) HJ ∥ DE לפי (2): קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם (משפט 65) (4) K אמצע EG לפי (1), (3): ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה, חוצה את הצלע השלישית (משפט 63) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) HK קטע אמצעים במשולש GDE לפי (1), (4): הגדרת קטע אמצעים במשולש (6) HK = ½DE לפי (5): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (7) KJ קטע אמצעים במשולש EGF לפי (1), (4): הגדרת קטע אמצעים במשולש (8) KJ = ½GF לפי (7): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (9) HK = 6, KJ = 10 נתון (10) DE = 12, GF = 20 לפי (6), (8), (9): חישוב סעיף ג (11) HK + KJ = HJ חיבור קטעים (12) HJ = 16 לפי (9), (11): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. MN = 16 ס״מ, PR = 13 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) HJKL טרפז, M אמצע HL, N אמצע JK נתון (2) MN קטע אמצעים בטרפז HJKL לפי (1): הגדרת קטע אמצעים בטרפז (3) MN ∥ HJ, MN = ½(HJ + LK) לפי (2): קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם (משפט 65) (4) HJNM טרפז לפי (3): הגדרת טרפז (מ.ש.ל) סעיף ב (5) P אמצע HM, R אמצע JN נתון (6) PR קטע אמצעים בטרפז HJNM לפי (4), (5): הגדרת קטע אמצעים בטרפז (7) PR ∥ HJ, PR = ½(HJ + MN) לפי (6): קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם (משפט 65) (מ.ש.ל) סעיף ג (8) HJ = 10, LK = 22 נתון (9) MN = 16, PR = 13 לפי (3), (7), (8): חישוב
שאלה 17: פרופורציה ודמיון: תרגילים מסכמים
- א.א. הוכחה
ב. NM = 6 ס״מ, MJ = 4 ס״מ
ג. LK = 6 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) ∡NLM = ∡MLJ, MK ∥ LJ נתון (2) ∡KML = ∡MLJ לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (3) ∡KLM = ∡KML לפי (1), (2): חישוב (4) LK = KM לפי (3): משולש שבו שתי זוויות שוות, הוא משולש שווה שוקיים (משפט 23) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) LN = 15, LJ = 10, NJ = 10 נתון (6) NM/MJ = LN/LJ לפי (1): חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים אשר היחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית בהתאמה (משפט 76) (7) NM = 6 לפי (5), (6): חישוב (8) MJ = 4 לפי (5), (7): חישוב סעיף ג (9) NK/KL = NM/MJ לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (10) LK = 6 לפי (5), (7), (8), (9): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. GK = 25 ס״מ, JH = 16 ס״מ, GH = 12 ס״מ
ג. S△GHJ = 96 סמ״רטענה נימוק סעיף א (1) GEFJ ריבוע, JH ⟂ GK נתון (2) ∡GEK = 90°, GE = GJ לפי (1): הגדרת ריבוע (3) ∡JHG = 90° לפי (1): הגדרת ישרים מאונכים (4) ∡EGK + ∡GKE = 90° לפי (2): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (5) EF ∥ GJ לפי (1): הגדרת מקבילית (6) ∡GKE = ∡KGJ לפי (5): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (7) ∡HJG + ∡HGJ = 90° לפי (3): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (8) ∡EGK = ∡HJG לפי (4), (6), (7): חישוב (9) △GEK ∼ △JHG לפי (2), (3), (8): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (10) GE = 20, EK = 15 נתון (11) GK = 25 לפי (2), (10): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (12) GE/JH = EK/HG = GK/JG לפי (9): במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות (13) JH = 16 לפי (2), (10), (11), (12): חישוב (14) GH = 12 לפי (2), (10), (11), (12): חישוב סעיף ג (15) S△GHJ = ½ · GH · JH לפי (3): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (16) S△GHJ = 96 לפי (13), (14), (15): חישוב
שאלה 18: מרובע חסום במעגל
- א.א. הוכחה
ב. ∡GJH = 116°, ∡DJE = 116°
ג. ∡HGJ = 22°טענה נימוק סעיף א (1) DG ⟂ EF, EH ⟂ DF נתון (2) ∡JGF = 90°, ∡JHF = 90° לפי (1): הגדרת ישרים מאונכים (3) ∡JGF + ∡JHF = 180° לפי (2): חישוב (4) FHJG בר־חסימה במעגל לפי (3): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) ∡DFE = 64° נתון (6) ∡GFH + ∡GJH = 180° לפי (4): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (7) ∡GJH = 116° לפי (5), (6): חישוב (8) ∡DJE = ∡GJH זוויות קודקודיות שוות זו לזו (משפט 2) (9) ∡DJE = 116° לפי (7), (8): חישוב סעיף ג (10) ∡HFJ = 22° נתון (11) ∡HGJ = ∡HFJ לפי (4): במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (12) ∡HGJ = 22° לפי (10), (11): חישוב - ב.א. ∡GKJ = 104°
ב. ∡HGK = 74°
ג. ∡GLH = 106°טענה נימוק סעיף א (1) GHJK חסום במעגל נתון (2) ∡GHK = 38°, ∡KHJ = 38°, ∡GJH = 68° נתון (3) ∡GHJ = ∡GHK + ∡KHJ השלם שווה לסכום חלקיו (4) ∡GHJ + ∡GKJ = 180° לפי (1): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (5) ∡GKJ = 104° לפי (2), (3), (4): חישוב סעיף ב (6) ∡GJK = ∡GHK לפי (1): במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (7) ∡HJK = ∡HJG + ∡GJK השלם שווה לסכום חלקיו (8) ∡HGK + ∡HJK = 180° לפי (1): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (9) ∡HGK = 74° לפי (2), (6), (7), (8): חישוב סעיף ג (10) ∡GKH = ∡GJH לפי (1): במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (11) ∡GKJ = ∡GKH + ∡HKJ השלם שווה לסכום חלקיו (12) ∡HGJ = ∡HKJ לפי (1): במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו (משפט 102) (13) ∡GLH = 106° לפי (2), (5), (10), (11), (12): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10)
שאלה 19: מרובע חוסם מעגל
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. OG = 17 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) GH = GK, JH = JK, ∡GHJ = 90° נתון (2) GHJK דלתון לפי (1): הגדרת דלתון (3) ∡GHJ = ∡GKJ לפי (2): זוויות הצד בדלתון שוות זו לזו (משפט 37) (4) ∡GHJ + ∡GKJ = 180° לפי (1), (3): חישוב (5) GHJK בר־חסימה במעגל לפי (4): ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל-180° (משפט 87) (מ.ש.ל) סעיף ב (6) GH + JK = HJ + KG לפי (1): חישוב (7) GHJK חוסם מעגל לפי (6): מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות (משפט 88) (מ.ש.ל) סעיף ג (8) GJ קוטר לפי (1): זווית היקפית בת 90° נשענת על קוטר (משפט 104) (9) GH = 16, HJ = 30 נתון (10) GJ = 34 לפי (1), (9): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (11) GJ = 2OG הגדרת קוטר: עובר דרך מרכז המעגל (12) OG = 17 לפי (10), (11): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. OP = 4 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) KLMN חוסם מעגל נתון (2) OP ⟂ KL, OR ⟂ LM, OS ⟂ MN, OT ⟂ NK לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (3) S(KLMN) = S△OKL + S△OLM + S△OMN + S△ONK שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (4) S△OKL = ½ · KL · OP, S△OLM = ½ · LM · OR, S△OMN = ½ · MN · OS, S△ONK = ½ · NK · OT לפי (2): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (5) OR = OP, OS = OP, OT = OP במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (6) KL + MN = LM + NK לפי (1): מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות (משפט 88) (7) S(KLMN) = OP · (KL + MN) לפי (3), (4), (5), (6): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ב (8) KL = 10, MN = 8, S(KLMN) = 72 נתון (9) OP = 4 לפי (7), (8): חישוב
שאלה 20: דמיון משולשים וקטעים מיוחדים: תרגילים מסכמים
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. FJ = 10.5 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) EF = 12, EG = 16, FH = 6, HG = 8 נתון (2) FH/HG = EF/EG לפי (1): חישוב (3) ∡FEH = ∡HEG לפי (2): ישר העובר דרך קודקוד משולש ומחלק את הצלע שמול קודקוד זה חלוקה פנימית, ביחס של שתי הצלעות האחרות (בהתאמה) הוא חוצה את זווית המשולש שדרך קודקודה הוא עובר (משפט 77) (מ.ש.ל) סעיף ב (4) EJ = 9 נתון (5) EJ/EF = EF/EG לפי (1), (4): חישוב (6) △EJF ∼ △EFG לפי (5): משפט דמיון צלע זווית צלע (משפט 68) (מ.ש.ל) סעיף ג (7) FJ/FG = EJ/EF לפי (6): במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות (8) FJ = 10.5 לפי (1), (4), (7): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. EJ = 9 ס״מ, JG = 12 ס״מ
ג. S△EJF/S△GJH = 9/16טענה נימוק סעיף א (1) EF ∥ HG נתון (2) ∡FEJ = ∡HGJ לפי (1): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (3) ∡EJF = ∡GJH זוויות קודקודיות שוות זו לזו (משפט 2) (4) △EJF ∼ △GJH לפי (2), (3): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) EJ/GJ = EF/GH = JF/JH לפי (4): במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות (6) EF = 15, HG = 20, EG = 21 נתון (7) EJ = 9 לפי (5), (6): חישוב (8) JG = 12 לפי (5), (6): חישוב דרך נוספת (9) JE/JG = EF/GH לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (10) EJ = 9 לפי (9), (6): חישוב סעיף ג (11) EF/HG = 3/4 לפי (6): חישוב (12) S△EJF/S△GJH = 9/16 לפי (4), (11): במשולשים דומים: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון (משפט 71ז)
שאלה 21: משיק ורדיוס
- א.א. הוכחה
ב. ∡SRT = 65°טענה נימוק סעיף א (1) QR = QT במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (2) ∡QRT = ∡QTR לפי (1): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (3) ∡RQT = 2∡SRT נתון (4) ∡QRT + ∡SRT = 90° לפי (2), (3): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (5) ∡QRS = 90° לפי (4): השלם שווה לסכום חלקיו (6) RS משיק למעגל Q בנקודה undefined לפי (5): ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל (משפט 106) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) ∡RTQ = 25° נתון (8) ∡SRT = 65° לפי (2), (4), (7): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. MP = 12 ס״מ, RP = 9 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) MR משיק למעגל Q בנקודה undefined נתון (2) ∡RMN = 90° לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (3) MN קוטר נתון (4) ∡MPN = 90° לפי (3): זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה 90° (משפט 103) (5) ∡RMP + ∡PMN = 90° לפי (2): השלם שווה לסכום חלקיו (6) ∡MNP + ∡PMN = 90° לפי (4): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (7) ∡RMP = ∡MNP לפי (5), (6): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ב (8) MR = 15, MN = 20 נתון (9) RN = 25 לפי (2), (8): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (10) MP ⟂ RN לפי (4): הגדרת ישרים מאונכים (11) S△RMN = ½ · MR · MN לפי (2): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (12) S△RMN = ½ · RN · MP לפי (10): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (13) MP = 12 לפי (8), (9), (11), (12): חישוב (14) RP = 9 לפי (10), (8), (13): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28)
שאלה 22: שני משיקים
- א.א. EJ + JK + EK = 14 ס״מ
ב. ∡JQK = 72°טענה נימוק סעיף א (1) EF משיק למעגל Q בנקודה undefined, EG משיק למעגל Q בנקודה undefined, JK משיק למעגל Q בנקודה undefined נתון (2) JF = JH, KH = KG, EF = EG לפי (1): שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (משפט 108) (3) EF = 7 נתון (4) EJ + JK + EK = 14 לפי (2), (3): השלם שווה לסכום חלקיו סעיף ב (5) ∡QFJ = 90°, ∡QHJ = 90°, ∡QHK = 90°, ∡QGK = 90° לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (6) QF = QH, QG = QH במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (7) △QFJ ≅ △QHJ לפי (5), (6): שני משולשים ישרי זווית שלהם ניצב שווה ויתר שווה חופפים זה לזה (משפט 30) (8) ∡FQJ = ∡HQJ לפי (7): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (9) △QHK ≅ △QGK לפי (5), (6): שני משולשים ישרי זווית שלהם ניצב שווה ויתר שווה חופפים זה לזה (משפט 30) (10) ∡HQK = ∡GQK לפי (9): במשולשים חופפים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות שוות (11) ∡FEG = 36° נתון (12) ∡FQG = 144° לפי (5), (11): סכום זוויות במרובע הוא 360° (משפט 35) (13) ∡JQK = 72° לפי (8), (10), (12): השלם שווה לסכום חלקיו - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. הוכחה
ד. QK = 2.4 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) GHJ חוסם את המעגל שמרכזו Q נתון (2) GH = GJ נתון (3) GL = GM, HL = HK, JM = JK לפי (1): שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (משפט 108) (4) HK = KJ לפי (2), (3): השלם שווה לסכום חלקיו (5) K אמצע HJ לפי (4): הגדרת אמצע קטע (מ.ש.ל) סעיף ב (6) ∡HGQ = ∡QGJ לפי (1): קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים (משפט 109) (7) GK ⟂ HJ לפי (2), (6): במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים (משפט 24) (מ.ש.ל) סעיף ג (8) ∡GLM = ∡GML לפי (3): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (9) ∡GHJ = ∡GJH לפי (2): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (10) ∡GLM = ∡GHJ לפי (8), (9): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) (11) LM ∥ HJ לפי (10): שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם נוצרו זוג זוויות מתאימות שוות אז שני הישרים מקבילים (משפט 7) (מ.ש.ל) סעיף ד (12) GH = 13, HJ = 24 נתון (13) HK = 12 לפי (5), (12): השלם שווה לסכום חלקיו (14) GK = 5 לפי (7), (12), (13): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (15) S△GHJ = ½ · HJ · GK לפי (7): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (16) ∡QLG = 90°, ∡QKH = 90°, ∡QMG = 90° לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (17) S△QGH = ½ · GH · QL, S△QHJ = ½ · HJ · QK, S△QJG = ½ · GJ · QM לפי (16): שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע והגובה לצלע זו (18) S△GHJ = S△QGH + S△QHJ + S△QJG שטח מצולע שווה לסכום שטחי חלקיו (19) QL = QK, QM = QK במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (20) QK = 2.4 לפי (2), (12), (14), (15), (17), (18), (19): חישוב
שאלה 23: משיק ומיתר
- א.א. ∡MNP = 59°
ב. ∡NMP = 62°
ג. ∡NOP = 118°טענה נימוק סעיף א (1) MN משיק למעגל O בנקודה undefined, MP משיק למעגל O בנקודה undefined נתון (2) ∡NRP = 59° נתון (3) ∡MNP = ∡NRP לפי (1): זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני (משפט 107) (4) ∡MNP = 59° לפי (2), (3): חישוב סעיף ב (5) MN = MP לפי (1): שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (משפט 108) (6) ∡MNP = ∡MPN לפי (5): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (7) ∡NMP = 62° לפי (4), (6): סכום הזוויות של משולש הוא 180° (משפט 10) סעיף ג (8) ∡NOP = 118° לפי (2): במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת (משפט 99) - ב.א. הוכחה
ב. AC = 6 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) AE משיק למעגל O בנקודה undefined נתון (2) ∡EAB = ∡ACB לפי (1): זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני (משפט 107) (3) CD ∥ AE נתון (4) ∡ADC = ∡EAB לפי (3): אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו (משפט 4) (5) ∡ADC = ∡ACB לפי (2), (4): חישוב (6) △ADC ∼ △ACB לפי (5): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) AD = 3, AB = 12 נתון (8) AD/AC = AC/AB לפי (6): במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות (9) AC = 6 לפי (7), (8): חישוב
שאלה 24: משפט תאלס: חישובים
- א.KH = 30 ס״מ, HF = 18 ס״מ
טענה נימוק (1) HG ∥ FJ נתון (2) KH/HF = KG/GJ לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (3) KH = HF + 12, KG = 15, GJ = 9 נתון (4) KH = 30, HF = 18 לפי (2), (3): חישוב - ב.א. LJ = 7 ס״מ
ב. JP = 12 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) N אמצע LM, K אמצע HM נתון (2) HG = 2GN לפי (1): נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 (החלק הקרוב לקודקוד ארוך פי 2 מהחלק האחר) (משפט 17) (3) JP ∥ LM נתון (4) HJ/JL = HG/GN לפי (3): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (5) HL = 21, LM = 18 נתון (6) HJ = 2JL לפי (2), (4): חישוב (7) LJ = 7 לפי (5), (6): חישוב סעיף ב (8) JP/LM = HJ/HL לפי (3): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (9) JP = 12 לפי (5), (7), (8): חישוב
שאלה 25: משפט תאלס: הוכחות
- א.א. הוכחה
ב. RZ = 15 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) TU ∥ VS, UZ ∥ SW נתון (2) RT/TV = RU/US לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (3) RU/US = RZ/ZW לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (4) RT/TV = RZ/ZW לפי (2), (3): כלל המעבר (5) RT · ZW = RZ · TV לפי (4): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ב (6) RT = 10, TV = 4, RW = 21 נתון (7) RZ = 15 לפי (4), (6): חישוב - ב.א. הוכחה
ב. הוכחהטענה נימוק סעיף א (1) RK ∥ LM נתון (2) PR/PM = PK/PL לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (3) PR · PL = PK · PM לפי (2): חישוב (מ.ש.ל) סעיף ב (4) PR/PM = RK/LM לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (5) NP ∥ LM נתון (6) RN/NL = RP/PM לפי (5): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (7) RN/NL = RK/LM לפי (4), (6): כלל המעבר (מ.ש.ל)
שאלה 26: המשפט ההפוך למשפט תאלס
- א.הוכחה
טענה נימוק (1) FE ∥ LK נתון (2) JF/FL = JE/EK לפי (1): משפט תאלס המורחב: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים (משפט 73) (3) JH/HG = JF/FL נתון (4) JH/HG = JE/EK לפי (2), (3): כלל המעבר (5) HE ∥ GK לפי (4): משפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים (משפט 74) (מ.ש.ל) - ב.הוכחה
טענה נימוק (1) GK = GF, KJ = FH נתון (2) GJ = GH לפי (1): חישוב (3) GJ/JK = GH/HF לפי (1), (2): חישוב (4) JH ∥ KF לפי (3): משפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים (משפט 74) (מ.ש.ל)
שאלה 27: שני מעגלים בעלי מרכז משותף
- א.א. הוכחה
ב. RS = 56 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) MP משיק למעגל הקטן בנקודה T, MP = RS, U אמצע RS נתון (2) NT ⟂ MP לפי (1): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (3) NU ⟂ RS לפי (1): קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר (משפט 98) (4) NU = NT לפי (1), (2), (3): מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל (משפט 95) (5) U על המעגל הקטן לפי (4): נקודה שמרחקה ממרכז המעגל שווה לרדיוס נמצאת על המעגל (6) RS משיק למעגל הקטן בנקודה U לפי (3), (5): ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל (משפט 106) (מ.ש.ל) סעיף ב (7) NT = 21, NR = 35 נתון (8) NU = 21 לפי (4), (7): חישוב (9) RU = 28 לפי (3), (7), (8): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (10) RS = 56 לפי (1), (9): השלם שווה לסכום חלקיו - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. הוכחה
בניית עזר: QH ⟂ AB, QJ ⟂ ACטענה נימוק סעיף א (1) AB = AC נתון (2) QH ⟂ AB, QJ ⟂ AC בניית עזר (3) QH = QJ לפי (1), (2): מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל (משפט 95) (4) DE = FG לפי (2), (3): מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה (משפט 96) (מ.ש.ל) סעיף ב (5) AH = HB, DH = HE, AJ = JC, FJ = JG לפי (2): האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר (משפט 97) (6) AD = AF לפי (1), (4), (5): השלם שווה לסכום חלקיו (מ.ש.ל) סעיף ג (7) DF ∥ BC לפי (1), (6): משפט הפוך למשפט תאלס: שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים הם ישרים מקבילים (משפט 74) (מ.ש.ל)
שאלה 28: מעגלים נחתכים
- א.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. LM = 72 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) JL קוטר, JM קוטר נתון (2) ∡JKL = 90°, ∡JKM = 90° לפי (1): זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה 90° (משפט 103) (3) K על הקטע LM לפי (2): דרך נקודה על ישר עובר אנך אחד בלבד לישר (מ.ש.ל) סעיף ב (4) N אמצע JL, O אמצע JM לפי (1): הגדרת קוטר: עובר דרך מרכז המעגל (5) NO קטע אמצעים במשולש JLM לפי (4): הגדרת קטע אמצעים במשולש (6) NO ∥ LM, NO = ½LM לפי (5): קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (משפט 62) (מ.ש.ל) סעיף ג (7) NJ = 29, OJ = 25, JK = 40 נתון (8) JL = 2NJ, JM = 2OJ לפי (1): הגדרת קוטר: עובר דרך מרכז המעגל (9) JL = 58, JM = 50 לפי (7), (8): חישוב (10) KL = 42, KM = 30 לפי (2), (7), (9): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (11) LM = 72 לפי (10): השלם שווה לסכום חלקיו - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. RS = 60 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) NR = QR נתון (2) NR = NS, QR = QS במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (3) NR = QS, RQ = SN, NR = RQ לפי (1), (2): חישוב (4) NRQS מקבילית לפי (3): מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית (משפט 44) (5) NRQS מעוין לפי (3), (4): מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין (משפט 59) (מ.ש.ל) סעיף ב (6) NQ ⟂ RS לפי (5): במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה (משפט 56) (מ.ש.ל) סעיף ג (7) NR = 34, NQ = 32 נתון (8) NT = TQ, RT = TS לפי (5): במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה (משפט 46) (9) NT = 16 לפי (7), (8): השלם שווה לסכום חלקיו (10) RT = 30 לפי (6), (7), (9): משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר (משפט 28) (11) RS = 60 לפי (8), (10): השלם שווה לסכום חלקיו
שאלה 29: מעגלים משיקים
- א.א. הוכחה
ב. KM = 3 ס״מ
בניית עזר: המשיק המשותף בנקודה K, ו־P נקודה עליוטענה נימוק סעיף א (1) המעגלים שמרכזיהם Q ו־N משיקים בנקודה K נתון (2) PK משיק למעגל שמרכזו Q בנקודה K, PK משיק למעגל שמרכזו N בנקודה K לפי (1): הגדרת מעגלים משיקים: יש להם משיק משותף בנקודת ההשקה (3) QK ⟂ PK, NK ⟂ PK לפי (2): המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (משפט 105) (4) K על הקטע QN לפי (3): דרך נקודה על ישר עובר אנך אחד בלבד לישר (5) QL = QK, NM = NK במעגל כל הרדיוסים שווים זה לזה (6) ∡QLK = ∡QKL, ∡NMK = ∡NKM לפי (5): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו (משפט 22) (7) ∡QKL = ∡NKM לפי (4): זוויות קודקודיות שוות זו לזו (משפט 2) (8) ∡QLK = ∡NMK לפי (6), (7): חישוב (9) QL ∥ NM לפי (8): שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם נוצרו זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים (משפט 5) (מ.ש.ל) סעיף ב (10) △QKL ∼ △NKM לפי (7), (8): משפט דמיון זווית זווית (משפט 69) (11) QK = 7, NK = 3, KL = 7 נתון (12) KM = 3 לפי (10), (11): במשולשים דומים הצלעות המתאימות פרופורציוניות - ב.א. הוכחה
ב. הוכחה
ג. HN = 12 ס״מטענה נימוק סעיף א (1) המעגלים שמרכזיהם K ו־M משיקים בנקודה H, JL משיק למעגל שמרכזו K בנקודה J, JL משיק למעגל שמרכזו M בנקודה L נתון (2) NH משיק למעגל שמרכזו K בנקודה H, NH משיק למעגל שמרכזו M בנקודה H לפי (1): הגדרת מעגלים משיקים: יש להם משיק משותף בנקודת ההשקה (3) NJ = NH, NL = NH לפי (1), (2): שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (משפט 108) (4) NJ = NL לפי (3): כלל המעבר (5) N אמצע JL לפי (4): הגדרת אמצע קטע (מ.ש.ל) סעיף ב (6) HN = ½JL לפי (3): השלם שווה לסכום חלקיו (7) ∡JHL = 90° לפי (5), (6): משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית (משפט 32) (מ.ש.ל) סעיף ג (8) JL = 24 נתון (9) HN = 12 לפי (6), (8): חישוב
דפי עבודה בחינם, עם דף תשובות: math-generator-a6o.pages.dev
שאלות נפוצות
האם הדף חינמי?
כן. אפשר ליצור ולהדפיס דפים בלי הגבלה ובלי הרשמה.
יש דף תשובות?
כן. לכל דף יש דף תשובות, וכל תשובה נבדקת אוטומטית בבודק עצמאי (SymPy) לפני שהגרסה עולה לאתר.
האם התרגילים לפי תוכנית הלימודים?
כן. סוגי התרגילים, טווחי המספרים והרמות נבנו לפי תוכנית הלימודים של משרד החינוך לכיתה י׳ 5 יח״ל.
אפשר לקבל כמה גרסאות של אותו דף?
כן. במחולל בוחרים „א׳ + ב׳” או „לפי רמות”, ומקבלים דפים מקבילים, כל אחד עם דף תשובות.